机电控制工程基础课程辅导-3

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1、15第3章自动控制系统的时域分析辅导[学习目标]熟练掌握：一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点，并能熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法；掌握：系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。了解：稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件，能熟练掌握计算稳态误差的方法。阶跃函数阶跃函数的定义是式中A为常数。A等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图3-l所示。它表示为xr(t)＝l(t)，或xr(t)=u(t)单位阶跃函数的拉氏变换

2、为Xr(s)=L[1(t)]=1/s在t＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。斜坡函数这种函数的定义是式中A为常数。该函数的拉氏变换是1515Xr(s)=L[At]=A/s2这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A。当A＝l时，称为单位斜坡函数，如图3-2所示。抛物线函数如图3-3所示，这种函数的定义是式中A为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号

3、，该恒加速度为A。抛物线函数的拉氏变换是Xr(s)=L[At2]=2A/s3当A＝1/2时，称为单位抛物线函数，即Xr(s)=1/s3。4.脉冲函数这种函数的定义是式中A为常数，ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是当A＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图3-4所示。单位脉冲函数的面积等于l，即反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。动态性能指标系统动态性能是以系统阶跃响应为基础来衡量的。一般认为阶跃输入对系统而言是比较严峻的工作状态，若系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在

4、其他形式的输入作用下，其动态性能也应是令人满意的。1515图3-5系统的典型阶跃响应及动态性能指标动态性能指标通常有如下几项：延迟时间阶跃响应第一次达到终值的50％所需的时间。上升时间阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。峰值时间阶跃响应越过稳态值达到第一个峰值所需的时间。调节时间阶跃响到达并保持在终值％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的％误差带来定义调节时间。超调量％峰值超出终值的百分比，即％％在上述动态性能指标中，工程上最常用的

5、是调节时间（描述“快”），超调量％（描述“匀”）以及峰值时间，它们也是本书重点讨论的动态性能指标。稳态性能指标稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。应当指出，系统性能指标的确定应根据实际情况而有所侧重。例如，民航客机要求飞行平稳，不允许有超调；歼击机则要求机动灵活，响应迅速，允许有适当的超调；对于一些启动之后便需要长期运行的生产过程（如化工过程等）则往往更强调稳态精度。一阶系统的单位阶跃响应因为单位

6、阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s，故输出的拉氏变换式为取C(s)的拉氏反变换得或写成式中，css=1，代表稳态分量；代表暂态分量。当时间t趋于无穷，暂态分量衰减为零。显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图3-7所示。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，所有其性能指标主要是调节时间，它表征系统过渡过程的快慢。当t＝3T或4T时，响应值与稳态值之间的误差将小于5～2%。显然系统的时间常数T越小，调节时间越小，响应曲线很

7、快就能接近稳态值。1515二阶系统的标准传递函数图为典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：式中图3-7Kv--开环增益；ωn--无阻尼自然频率或固有频率，；ζ--阻尼比，。二阶系统的闭环特征方程为s2+2ζωns+ω2n=0其特征根为二阶系统的阶跃响应二阶系统标准传递函数式(3-4)的动态特性取决于阻尼比ζ和固有频率ωn两个特征量，设输入为单位阶跃函数，则其响应的拉氏变换为：式中--阻尼振荡频率，。下面按几种不同阻尼比ζ，分析二阶系统的瞬态响应。1.临界阻尼(ζ=1)时域响应为上式包含一个衰减指数项。c(t

8、)为一无超调的单调上升曲线，如图所示。(a)(b)(c)图3-8ζ≥1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应1515过阻尼(ζ＞1)式(3-6)为具有两个不同负实根的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换式。其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。图3-8(c)为其特征根分布图。欠阻尼（0<ζ＜1）其特征根为，如图3-9所示。将式（3-6）展开并经拉氏反变换后，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃