初中几何动态中点问题

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1、动态中点问题1、如图，△ACB、△CDE都为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连AE，P、M、N分别为AE、AB、DE的中点。（1）如图，D、E分别在AC、BC上时，PM、PN之间有何数量关系和位置关系。（2）将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度时，上述结论是否成立？解：（1）∵AM=MBAP=PEDN=NE∴MP为△ABE的中线PN为△EDA的中线∴MP=1/2BE=1/2（BE-EC）=1/2（AC-DC）=1/2AD=PN∴MP∥BEPN∥AD∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=180°-∠BEP+∠EAD=180°-(1

2、80°-∠AEC)+∠EAD=∠AEC+∠EAC=90°∴MP⊥PN（2）如右图，连BE、AD，∵AM=MBAP=PEEN=NP∴MP=1/2BEPN=1/2AD∵∠BCE=90°-∠ECN=∠ACD∵BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD∴△BCE≌△ACD∴BE=EDMP=PN∠MPN=180°-∠BEP+∠EAD=180°-（360°-∠BEC-∠AFC）+∠EAD=180°-（∠EAD+90°）+∠EAD=90°同理，图形如下时结论均成立2、已知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=α,M、N、G、H分别为AE、AB、

3、BD、DE的中点。（1）如图1，当α=60°时，且B、C、D在一条直线上，判断四边形MNGH的形状并证明。（2）如图2，当α=90°时，且B、C、D在一条直线上时，判断四边形MNGH的形状并证明。（3）若将图2中△CDE绕点C旋转一个锐角，上述结论是否成立？画图，并直接写出结论。解：(1)连BE、AD∵∠ACB=∠ECD=60°AC=BCEC=CD∴△ACB、△ECD是正三角形∵∠ACD=180°-60°=∠BCE∴△ACD≌△BCE∴BE=AD∵M、N、G、H分别为AE、AB、BD、DE的中点∴NG=1/2AD=MH=1/2BE=

4、NM=GH∴四边形MNGH是菱形（2）连BA、ED，∵BC=EC∠BCA=∠ECDAC=DC∴△BCA≌△ECD∴BA=ED∵BN=NEAM=MEAH=HDBG=GD∴NM=1/2AB=HGMH=1/2ED=NGMH∥ED∥NGAB∥NM∥HG∴NM=HG=MH=NG∴∠NMH=∠NMC+∠CMH=∠BAC+∠CMD=∠BAC+∠CBA=180°-90°=90°∴四边形MHGN是正方形（3）画图如下，以上结论均成立3、如图，已知△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，过A点作直角三角形AEF，且EA=EF，点O为AF的中点，点M为

5、CE的中点，连OB、MB。（1）当E、A、B三点共线，且点E不在线段AB上，求BM与OB的比值。（2）将上图中的△AEF绕点A旋转任意一个锐角时，上述结论是否成立？画图并直接写出结论。解：（1）连OE、OM，∵E、A、B三点共线∴F、A、C三点共线∴EA=EF∠EAF=45°∴△EAF是等腰直角三角形∵FO=OA∴∠OEA=45°∠EOC=90°∴EM=OM=MC=MB∴∠OMC=∠MOE+∠OEM=2∠OEM=90°+2∠BEM=90°+∠BMC∴∠OMB=∠OMC-∠BMC=90°∴△OMB是等腰直角三角形∴OB=√2BM∴BM

6、：OB=√ 2/2（2）画图如下，以上结论均成立4、如图，ABCD、DFGE均为正方形，连AG，作AG的中点H，连BH。（1）求BH：HE的值。（2）当正方形ABCD绕点D旋转时，上述结论是否改变？画图，直接写出结论。解：（1）连BE，延长BH至M，使BH=HM，连EM、GM，延长BD交MG延长线于N，∵BH=MH∠BHA=∠MHGHA=HG∴△BHA≌△MHG∴AB∥MG∴∠BNM=180°-∠ABD=90°=∠DNG∴∠EDN=∠EGN∴∠BDE=180°-∠EDN=180°-∠EGN=∠EGM∵BD=AB=MGED=EG∴△E

7、DB≌△EGM∴BE=ME∠BED=∠BEG∴∠BEM=∠DEG=90°∵BH=HM∴BH=HE∴BH：HE=1（2）画图如下，以上结论均成立