与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆

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1、与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。　　特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。　　三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。　　其中，三角形内切圆有一定的特性。　　在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。　　对于一般的三角形，内切圆半径公式如下：　　r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]　　在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。2、两直角

2、边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。　　1、r=(a+b-c)/2（注：s是Rt△的面积，a,b是Rt△的2个直角边，c是斜边）　　2、r=ab/(a+b+c)　　扇形内切圆　　与扇形⌒AOB的圆弧⌒AB及两条半径OA,OB都相切的圆叫扇形的内切圆.　　内切圆圆心O′在扇形的圆心角AOB的角平分线上,　　OO′=R-r(R是扇形半径,r是内切圆半径)　　过O′作O′A⊥OA,垂足A,直角三角形OAO′中　　∠O′OA=30°,O′A=r,OO′=R-r,　　∴r=(R-r)*sin30°,r=1/2(R-r),R=3r　　内切圆面积=πr^2,　　扇形面积是原来圆面积的60/36

3、0=1/6　　∴扇形面积=πR^2/6=π(3r)^2/6=3πr^2/2　　∴形的内切圆面积与扇形面积的比为πr^2:(3πr^2/2)=2:3　　直角三角形的内切圆的半径＝二分之一×（直角边＋另一直角边－斜边）　　内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。内切圆等于外切圆的2分之1与多边形各角都相交的圆叫做多边形的外接圆。三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。三角形外接圆圆心叫外心有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）　　圆心到三角形各个顶点的线段相等　　过三角形的三个顶点的圆叫做三角形

4、的外接圆，其圆心叫做三角形的外心　　在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形　　），也可能在三角形上（如直角三角形）　　过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）编辑本段作图方法　　即做三角形三条边的垂直平分线(两条也可，两线相交确定一点）　　以线段为例，可以看作是三角形一边。分别以两个端点为圆心适当长度（相等）为半径做圆（只画出与线段相交的弧即可），再分别以两交点为圆心，等长为半径（保证两圆相交）做圆，过最后的两个圆的两个交点做直线，这条直线垂直且平分这条线段即线段的垂直平分线。　　例题分析　　例1如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA

5、＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．    分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．　　解∵PC⊥平面ABC　　∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．　　设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴D是　　∵PC=CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA　　评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解

6、三角形的方法来求解．　　例2在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．(图1－126)　　分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．    同理，有PB⊥a，　　∵PA∩PB=P，　　∴a⊥面PAQB于Q　　又AQ、BQ　　平面PAQB　　∴AQ⊥a，BQ⊥a．　　∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角．　　∴∠AQB＝60°　　连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有　　∠PAQ＝∠PBQ=90°　　∴P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R　　在

7、△PAB中，∵PA=1，PB=2，∠BPA＝180°-60°=120°，由余弦定理得　　AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7　　由正弦定理：　　评注本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．　　例3如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．　　分析二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角