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1、偏微分方程课程设计学号：0683110姓名：陆莉指导老师：翟方曼2010.01一．题目用向前差分格式计算如下热传导方程的初边值问题已知其精确解为二．理论作为模型，考虑一维热传导方程：…………（1.1）其中是正常数，是给定的连续函数。现在考虑第二类初边值问题的差分逼近：初始条件：…………（1.2）边值条件：，，………（1.3）假设和在相应区域光滑，并且在满足相容条件，使上述问题有惟一充分光滑的解。1.建立差分格式（1）.区域剖分取空间步长和时间步长，其中都是正整数。用两族平行直线和将矩形域分割成矩形网格，网格节
2、点为。以表示网格内点集合，即位于开矩形的网点集合；表示所有位于闭矩形的网点集合；是网格界点集合。其次，用表示定义在网点的函数，（2）.微分方程的离散，建立相应差分格式将方程在节点离散化，，…………（1.4）对充分光滑的解，由Taylor展式：…………（1.5）…………（1.6）…………（1.7）（1.5）移项得：…………（1.8）（1.6）（1.7）相加得：…………（1.9）将（1.8）（1.9）代入（1.4）得：…………（1.10）其中，舍去，得到逼近（1.1）的向前格式差分方程：，……（1.11）其中，，
3、记则由（1.4）由（1.11）显然，截断误差（3）.边界条件在本题中，，，，，2.稳定性分析用傅里叶方法对差分格式进行稳定性分析以表示网比，将（1.11）改写成便于计算的形式：（本题中）以代入，得消去，则知增长因子由，得即只需解得所以向前差分格式的稳定性条件是三．MATLAB程序取，，则，满足稳定性条件另取，，则，亦满足稳定性条件另取，，则，亦满足稳定性条件formatlonga=2;l=1;T=1;N=10;M=400;h=l/N;to=T/M;r=(a*to)/h^2;forj=1:N+1x(j)=(j-
4、1)*h;fork=1:M+1t(k)=(k-1)*to;u(j,k)=exp(x(j)+2*t(k));endendu%求解精确解forj=1:N+1x(j)=(j-1)*h;us(j,1)=exp(x(j));endfork=1:M+1t(k)=(k-1)*to;us(1,k)=exp(2*t(k));us(N+1,k)=exp(1+2*t(k));endfork=2:M+1forj=2:Nus(j,k)=r*us(j-1,k-1)+(1-2*r)*u(j,k-1)+r*us(j+1,k-1);enden
5、dus%求解数值解fork=1:M+1forj=1:N+1R(j,k)=abs(u(j,k)-us(j,k));endendR%计算误差Rmax=max(max(R))%求误差的最大值图---精确解与数值解的比较：x=0:0.1:1;holdonplot(x,u(:,M+1),'b');plot(x,us(:,M+1),'y');title('t=1，h=1/10，τ=1/400时精确解和数值解的比较')text(0.05,21,'蓝：精确解');text(0.05,20,'黄：数值解');holdoff图-
6、--取不同步长时的误差比较：x=0:1/10:1;y=0:1/20:1;z=0:1/40:1;holdonplot(x,R(:,M+1),'b');holdoffM分别取10，20，40四．表格及图表部分结点处的精确解、数值解和误差绝对值（取，）精确解数值解（3，1）（0.2，0）1.2214031.2214030（3，41）（0.2，0.1）1.4918251.4916251.994660e-004（3，81）（0.2，0.2）1.8221191.8218472.719067e-004（3，121）（0.2
7、，0.3）2.2255412.2252053.359077e-004（3，161）（0.2，0.4）2.7182822.7190674.107891e-004（3，201）（0.2，0.5）3.3201173.3196155.018075e-004（3，241）（0.2，0.6）4.0552004.0545886.129183e-004（3，281）（0.2，0.7）4.9530324.9522847.486214e-004（3，321）（0.2，0.8）6.0496476.0487339.143683e-0
8、04（3，361）（0.2，0.9）7.3890567.38793911.168120e-004（3，401）（0.2，1）9.0250139.02364913.640773e-004部分结点处的精确解、数值解和误差绝对值（取，）精确解数值解（5，1）（0.2，0）1.2214031.2214030（5，161）（0.2，0.1）1.4918251.4917754.967727e-005（5，321
