实验三、随机信号的功率谱估计方法

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1、随机信号的功率谱估计方法一、实验目的1、利用自相关函数法和周期图法实现对随机信号的功率谱估计2、观察数据长度、自相关序列长度、信噪比、窗函数、平均次数等谱估计的分辨率、稳定性、主瓣宽度和旁瓣效应的影响。3、学习使用FFT提高谱估计的运算速度。4、体会非参数化功率谱估计方法的优缺点。二、实验原理假设信号x(n)为平稳随机过程，其自相关函数定义为∅m≜E{x*(n)x(n+m)}(3-1)其中E表示取数学期望，*表示共轭运算。根据定义，x(n)的功率谱密度与自相关序列存在下面关系：(3-2)(3-3)但是，实际中我们很难得到

2、准确的自相关序列，只能通过随机信号的一段样本序列来估计信号的自相关序列，进而得到信号的功率谱估计。目前，常用的线性谱估计方法有两种，即相关函数法和周期图方法，本实验对这两种方法分别予以讨论。1．自相关函数法假设我们已知随机信号x(n)的M长的自相关序列{}，利用自相关函数法可以得到x(n)的功率谱估计：(3-4)利用窗函数，上式又可表达为(3-5)其中，为矩形窗函数，定义为(3-6)因此，实际上是真正功率谱与窗函数傅立叶变换的卷积。矩形窗函数不仅降低了谱估计的分辨率，而且使谱估计产生了旁瓣。为了降低旁瓣影响，可以采用具有

3、较小旁瓣的窗函数，如Hamming窗，它定义为(3-7)这种窗函数可以有效的抑制旁瓣，但是，此时主瓣宽度增大，从而降低了谱估计的分辨率，这种主瓣和旁瓣之间的矛盾在线性谱估计方法中是无法解决的。2．周期图方法假设已知随机信号的N个样本，利用周期图方法，信号x(n)的功率谱估计为(3-8)利用上述方法得到的谱估计方差与信号的功率谱平方成正比，为了减小它的方差，可以将信号序列进行分段处理，然后再求各分段结果的平均，这就是平均周期图方法，即Bartlett方法。（1）Bartlett平均周期图方法将一个随机序列(0≤n≤N）分成

4、K段，每段长度为L，各段之间互不重迭，因而N=KL，可以想到，第i段的信号序列可表示为(3-9)对于每一段的周期图又可写成,(3-10)于是，功率谱估计定义为(3-11)因此，对于固定的记录长度来讲，分段数K增大可使谱估计的方差减小，但是由于L的减小，相应的功率谱主瓣增宽，谱分辨率降低，显然，方差和分辨率也是矛盾的。除了分辨率降低以外，分段处理还会引起序列的长度有限所带来的旁瓣效应。为减小这种影响，最有效的办法是给分段序列用适当的窗函数加权，可以得到较平滑的谱估计，当然，相应的分辨率也有所下降。（2）平滑平均周期图方法这

5、时一种改进的Bartlett周期图方法，它特别适用于FFT直接计算功率谱估值。将长度为N的平稳随机信号序列x(n)分成K段，每段长度为L，即L=N/K。但这里在计算周期图之前，先用窗函数给每段序列加权，K个修正的周期图定义为,(3-12)其中U表示窗函数序列的能量，(3-13)在这种情况下，功率谱估计可按下面表达式给出：(3-14)本实验主要是利用自相关函数法和周期图方法对下面受噪声干扰扰的正弦信号进行谱估计：(3-15)其中NS为正弦个数，ωi,φi和ai分别为第i个正弦信号的数字频率、相位和幅度，φi随机的分布在（0

6、,2π）之间，w(n)为零均值方差等于σw2的复高斯白噪声。三、实验内容和步骤1．仔细阅读有关线性谱估计的内容，根据给出的框图3-1编制自相关函数法谱估计的程序。运行程序，输入N=100,M=10,ω1=0.6π,φ1=0,a1=1,σw2=0选择矩形窗。观察谱峰位置是否正确（注意：由于窗效应可能引起谱估计的非正定）。如下图所示，图（1）由上图（1）的仿真结果看出，谱峰的位置处于0.6π处，故估计较精确。开始输入参数：数据长度N，自相关函数个数M，平均次数K信号产生：输入正弦个数Ns，每个正弦信号的数字频率、相位和幅度，

7、白噪声信号的方差σw2，按照公式（3.16）产生复正弦加白噪声信号的N个采样结束自相关函数法由N个x(n)估计出自相关序列(M长),并对此自相关序列加矩形窗或Hamming窗，利用公式(3.5)计算[0，2π）之间的128个功率谱抽样点周期图方法输入FFT点数，按照公式(3.11)、(3.12)和(3.13)计算NF点功率谱图3-12．观察并记录参数变化对谱估计性能的影响。（1）改变M=5，其它输入同步骤1，观察功率谱估计的主瓣宽度和旁瓣大小随自相关序列长度的变化情况。图（2）上图（2）为M=5是，矩形窗函数的功率谱估计

8、的仿真图。比较M=5与M=10时的图形可以看出：M越小，主瓣宽度越大，分辨率越低，谱峰高度越低低。（2）选择窗函数为Hamming窗，其它输入同步骤1，观察不同的窗函数对谱估计性能的影响。图（3）比较图（1）图（3）可以看出，图（3）的主瓣宽度增加了近一倍，旁瓣相应也减少了许多，同时发现Hamming窗的分辨率降低了