信号与系统教程new

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1、9.1线性系统的状态方程9.1.1．状态变量与状态方程为了说明状态变量与和状态方程的概念，首先来研究图9-1所示的二阶电网络。图中us为电压源。由于电容电流和电感电压分别为ict=Cducdtult=Ldildt则由KCLheKVL可列出如下方程ducdt=il-ucR2Ldildt=us-RliL-Uc整理可得ducdt=-1CR2Uc+1CiLdildt=-1LUc-R1LiL+1LUs若指定个电感电压uL为输出，则由方程uL=-uc-RliL+us式（9-3）形式的一阶微分方程称为状态方程，其中uc(t),iL

2、(t)称为状态变量；式（9-4）是以输入信号和状态变量表示的代数方程，它称为输出方程。方程式（9-3）和（9-4）表明，如果电路在t=t0时刻的状态uc(t)和iL(t)为已知，那么根据t≥t0时给定的输入us(t)就可以唯一的确定方程组式（9-3）的解uc(t)和iL(t)。再由所得的状态变量和t≥t0时的输入，就可以确定t≥t0时的输出。一般而言，连续动态系统在某一时刻t0的状态，是描述该系统所必须的最少的一组数x1t0,x2t0,…,xn(t0),根据这组数和t≥t0时给定的输入就可以唯一的确定在t>t0的任意

3、时刻的状态。状态变量x1t0,x2t0,…,xn(t0)，是描述状态随时间变化的一组变量，它们在t0时的值就组成了系统在该时刻的状态。状态变量方程简称状态方程，它是用状态变量和激励（有时为零）表示的一组独立的一阶微分方程；而输出方程是用状态变量和激励（优势还可能有激励的某些函数）表示的袋鼠方程。通常将系统的状态方程和输出方程总称为动态方程。在电路系统中，一般取独立电容上电压和电感中电流为状态变量。下面以图9-2所示的二姐电路为例，进一步说明直观列写状态方程的方法。选择uc(t)和iL(t)为状态变量，对包含电感的回路

4、，有KVL，有diLdt-uct+ust=0对于节点a，由KCL，有Cducdt=-1RCuc-1CiL+1Cis整理可得Cducdt=-1RCuc-1CiL+1Cisdildt=1Luc(t)-1Lus(t)写成矩阵形式为ducdtdildt=-1RC-1C1L0uc(t)iL(t)+1C00-1Lisus状态变量xt=x1(t)x2(t)=uc(t)iL(t),A=-1RC-1C1L0,B=1C00-1Lft=isusT则上式可写为X=Axt+Bf(t)式中，X表示状态变量的一阶导数，x(t)称为状态变量，A称为

5、状态变量的系数矩阵，对线性时不变系统，A和B为常数矩阵。式（9-5）为有外加输入系统的状态方程的标准形式。由上可知，状态方程式一组一阶微分方程，只要知道其实状态，就可以求取uc(t)和iL(t)，随之该电路的其他量也可以确定。因此uc(t)和iL(t)是该电路中最少的一组状态变量。对于一般的电路，直观列写状态方程的步骤如下：第一步：选择独立的电容上电压和电感中电流为状态变量。第二步：对于电容相连的节点列写KCL方程，对包含电感的回路列写KVL方程。第三部：消去非状态变量，整理成标准形式的状态方程x=Axt+Bf(t)

6、式中，Bf(t)是与外加信号有关的项，B为常数矩阵。例9-1对于图9-3（a）所示电路，试写出其状态方程，并以uR为输出写出输出方程。解首先选择电容上电压和电感上电流为状态变量，即xt=uc1uc2iL]T画出与电路相对于的图，如图9-3（b）所示。对于C1和C2支路相连的节点分别列出KCL方程，即C1duc1dt+uc1-usR+iL=0C2duc2dt+iL+iL=0对电感所在的回路列写KVL方程，即LdiLdt-uc2-uc1+us=0整理可得状态方程duc1dt=1C1[-uc1R-iL+usR]duc2dt

7、=1C2[-iL-is]diLdt=1Luc1+uc2-us写出矩阵形式为duc1dtduc2dtdiLdt=-1C1R0-1C00-1C21L1L0uc1uc2iL+-1C1R00-1C2-1L0usis即有标准形式x=Axt+Bft输出方程urt=ust-uc1t对于一般系统，如果已知其模拟框图，也可以写出它们的状态方程。例如图9-4所示的三种简单例子，只要把每个积分器的输出变量设为状态变量，即可容易地写出状态方程和输出方程。对于图9-4（a）所示的反馈积分放大环节，设积分器输出为状态变量x，则有状态方程x=ax

8、+bft对于图9-4（b）所示的两级反馈环节级联情况，有状态方程x1=-a1x1+x2x2=-a2x2+ftx1x2=-a110-a2x1x2+01ft输出方程为yt=x1对于图9-4（c）所示的两级反馈环节并联情况，有状态方程x1=-3x1+2f(t)x2=-2x2+2ft即x1x2=-310-2x1x2+22ft输出方程yt=x1-x29.