直线中的几类典型问题(学)

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1、直线中的几类典型问题一．求倾斜角的范围1．直线xsin＋ycos＝0的倾斜角是(　　)A．－　　　　　B.C.D.2．直线2xcosα－y－3＝0(α∈)的倾斜角的变化范围是(　　)A.B.C.D.3．直线的倾斜角的取值范围是_______分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于的一个三角不等式即可．说明：解题易得出错误的结果，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．二．求直线的方程4．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________．5．直线过点（－

2、1，3），倾斜角的正弦是，求直线的方程分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解．说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．6．求经过两点（2，）和（，3）的直线方程．分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到与2的分类；如果选用两点式，还要涉及与3的分类．说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法．7.直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等

3、的直线方程。分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解．说明：对本例，常见有以下两种误解：8误解一：如下图，由于直线的截距相等，故直线的斜率的值为．若，则直线方程为；若，则直线方程为．故直线方程为或．误解二：由题意，直线在两轴上的截距相等，则可设直线方程为．由直线过点，得，即，也即方程为．在上述两种误解中，误解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0．显见，当时，直线的两轴上的截距分别为1和－1，它们不相等．另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形．误解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也

4、产生了漏解．三、对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题.对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.1、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.点评解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解.另

5、外此题有可以利用中点的性质AB=BC，以及A，B，C三点共线的性质去列方程来求解.练习：求点A（2,2）关于点（-1，5）的对称点坐标。2、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.练习：求点A（2,2）关于直线l:2x-4y+9=0的对称点B坐标。3、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注

6、意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.8例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.练习：求直线y=2x+3关于点A（2,2）对称的直线方程。点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.4、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交.对于①，我

7、们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.练习：求直线y=2x+3关于直线y=2x-1对称的直线方程。点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路.另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.练

8、习：求直线y=2x+3关于直线y=x-1对称的直线方程。点评本题亦可以先求l1，l2的交点A，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B′，最后由A，B′两点写出直线l的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直