数值分析13线性插值与二次插值公式

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1、插值方法的应用代数插值问题线性插值与二次插值公式拉格朗日插值公式《数值分析》13引例1.正弦函数sinx的计算问题2/18(1)线性函数逼近y0=x(2)泰勒级数逼近y1(x)=x–x3/3!+x5/5!(3)抛物线逼近y2=4x(π–x)/π2(1)复杂函数的计算;(2)函数表中非表格点计算(3)光滑曲线的绘制;(4)提高照片分辩率算法(5)定积分的离散化处理;(6)微分方程的离散化处理;(7)积分方程的离散化处理;插值方法的应用:3/18引例2.误差函数x00.50001.00001.50002.00002.50003.0000y00.52050.84270.96610.99530.

2、99961.0000当x∈(0.5,1)时当x∈(1,1.5)时4/18已知f(x)在点xi上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,2,···,n)则称P(x)为f(x)的n次代数插值多项式.称x0,x1,······,xn为插值结点;称f(x)为被插值函数.如果P(x)=a0+a1x+···+anxn满足:P(xk)=yk(k=0,1,…,n)设f(x)∈C[a,b],取点a≤x0＜x1＜···＜xn≤b代数插值问题插值函数插值条件5/18点,则满足插值条件P(xk)=yk(k=0,1,…,n)的n次插值多项式P(x)=a0+a1x+……+anxn存在而且是唯一的。证明:由插值条件P

3、(x0)=y0P(x1)=y1··············P(xn)=yn定理5.1若插值结点x0,x1,…,xn是(n+1)个互异6/18方程组系数矩阵取行列式故方程组有唯一解.从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.例5.1已知误差函数在四个点处函数值x00.60001.20001.8000Erf(x)00.60390.91030.98917/18构造3次多项式P(x)逼近Erf(x)设P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,令P(xk)=Erf(xk)得求解,得a0=0,a1=1.293,a2=-0.5099,a3=0.0538所以,P(x)=1.293x–0.5099x2+

4、0.0538x38/18x=0:.6:1.8;y=erf(x);x=x';y=y';A=[ones(4,1)xx.^2x.^3];p=Ay;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;plot(x,y,'o',t,u)MATLAB数值实验9/18过两点直线方程求满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1的线性函数L(x)已知函数表xx0x1f(x)y0y1例求的近似值六位有效数10.723810/18记当x0≤x≤x1时0≤l0(x)≤1,0≤l1(x)≤1xx0x1l0(x)10l1(x)01[y

5、0y1]=[10]y0+[01]y1线性插值函数的对称形式11/18二次插值问题xx0x1x2f(x)y0y1y2已知函数表求函数L(x)=a0+a1x+a2x2满足:L(x0)=y0,L(x1)=y1,L(x2)=y2[y0y1y2]=[100]y0+[010]y1+[001]y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，12/18二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，xx0x1x2l0(x)100l0(x)100l1(x)010l2(x)001L(x)y0y1y2xx0x1x213/18二次插值基函数图形取x0=0,x1=0.5,x2

6、=1l0(x)=2(x–0.5)(x–1);l1(x)=–4x(x–1);l2(x)=2(x–0.5)x14/18二次插值的一个应用——极值点近似计算二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，极值点近似计算公式15/18拉格朗日插值公式插值条件:L(xk)=yk(k=0,1,…,n)其中,第k(k=0,1,…，n)个插值基函数或:16/18Runge反例:,(-5≤x≤5)L10(t)f(t)f(x)取xk=–5+k计算:f(xk)(k=0,1,…,10)构造L10(x).取:tk=–5+0.05k(k=0,1,…,200),计算:L10(tk)17/18x

7、=-5:5;y=1./(1+x.^2);t=-5:0.05:5;y1=1./(1+t.^2);n=length(t);fori=1:nz=t(i);s=0;fork=1:11Lk=1;u=x(k);forj=1:11ifj~=k,Lk=Lk*(z-x(j))/(u-x(j));endends=s+Lk*y(k);endy2(i)=s;endplot(x,y,'ko',t,y1,t,y2,'r')18/18