12光学透镜的变换

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1、光学透镜的变换透镜是光学系统的最基本的元件，具有成象和光学傅里叶变换的基本功能，本章将首先讨论透镜的成像和光学傅里叶变换性质透镜可以用来实现透过物体的光场分布的夫琅和费衍射，而透镜之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用无像差的正薄透镜对点光源的成像过程是点物成点像，从波面变换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波发散球面波和会聚球面波在透镜平面上都具有球面波的二次位相因子，因此透镜的功能就是改变二次位相因子的大小，实际上也就是具有附加的二次位相因子透镜的位相变换作用透镜的位相变换作用示意图透镜的复振幅透过率定义为和分别是和平面上的光场复振

2、幅分布。傍轴近似下单色点光源的发散球面波在平面上造成的光场分布为球面波经透镜变换后向点会聚，在平面上造成的复振幅分布为透镜的复振幅透过率或相位变换因子为透镜的复振幅透过率即位相变换作用由透镜成像的高斯公式可知透镜的相位变换因子可表为如果考虑透镜孔径的有限大小，用表示孔径函数（或称光瞳函数），其定义为于是透镜的相位变换因子可写做透镜的二次位相因子透镜的傅里叶变换性质透镜除了具有成像性质外，还能作傅里叶变换，正因如此，傅里叶分析方法在光学中得到广泛而成功的应用。单位振幅平面波垂直照明衍射屏，在透镜的后焦面（无穷远照明光源的共轭面）上观察的夫琅和费衍射，恰好是衍射屏透过

3、率函数的傅里叶变换另外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚中心的观察屏上的菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数的傅里叶变换，因此可在照明光源的共轭面上观察屏函数的夫琅和费衍射图样。下面进行具体讨论物在透镜之前的变换由于是薄透镜，平面、和重合在一起要变换的透明片置于透镜前方，其复振幅透过率为在傍轴近似下，由单色点光源发出的球面波在物的前表面上造成的场分布为透过物体，从输入面上出射的光场为从输入平面出射的光场菲涅耳衍射到透镜平面，复振辐分布为物在透镜之前的变换性质证明（1）物在透镜之前的变换性质证明（2）通过透镜后的场分布为式中为光瞳函数。再一次经过菲涅耳衍射，在

4、输出面上，即光源的共轭面上的光场分布为经过大量的代数运算和化简可得，输入平面位于透镜前，计算光源共轭面上场分布的一般公式为两个特殊位置的讨论照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此观察平面位置由照明光源位置决定（当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，这时观察平面位于透镜后焦面上）输入平面位于透镜前焦面，由于，衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，而且只要照明光源和观察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照明光源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标的关系输入面紧贴透镜，这时，衍射物体的复振幅

5、透过率与观察面上的场分布，不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。观察面上的频谱的空间尺度上能按一定的比例缩放物在透镜之后的变换入射到透镜前表面的场为从透镜出射的场为从透镜的后表面出射的场到达物的前表面造成的场分布为通过物体后的出射光场为物在透镜之后的变换性质证明（1）这个光场传输到观察平面上造成的场分布为经过一系列的代数演算得到：可以看出，不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。物在透镜之后的变换性质证明（2）透镜的孔径效应输入面紧贴透镜的情况

6、比较简单，可直接利用透镜孔径作为变换积分域进行计算。对于物在透镜后方，物面上被照明的区域是透镜的孔径沿会聚光锥在物面上的投影。透镜孔径的衍射效应可以用在物面上孔径投影的衍射效应做等效替代。被积函数增加一个因子：物在透镜前时，用几何光学近似，也就是考虑物面与透镜之间的距离相对于透径直径而言不是很大的情况。这时光波从物到透镜之间的传播可看做直线传播，并忽略透镜的孔径衍射。这样的条件，在实用的绝大多数问题中都是能得到满足的。于是有课堂练习采用下图所示的光路对某一维物体作空间频谱分析，它所包含的最低空间频率为20周/mm，最高空间频率为200周/mm，照明光波长为0.6微

7、米,若希望谱面上最低空间频率与最高空间频率之间间隔为50mm,透镜的焦距应取多大?课堂练习解答