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时间:2018-07-25
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1、2012吉林第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共8题,满分160分。填空题把答案填在题中的横线上或题给的表格中,只要给出结果,不需写出求解的过程。计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤,只写出最后结果的不能得分,有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位。一、(17分)设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放,释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触。已知湖水密度为ρ;物块边长为b,密度为ρ',且ρ'<ρ。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下,求物
2、块从初始位置出发往返一次所需的时间第29届全国复赛1。一、参考解答由于湖面足够宽阔而物块体积很小,所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变,因此,可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系,以下简称x系。设物块下底面的坐标为x,在物块未完全浸没入湖水时,其所受到的浮力为()(1)式中g为重力加速度.物块的重力为(2)设物块的加速度为,根据牛顿第二定律有(3)将(1)和(2)式代入(3)式得(4)将系坐标原点向下移动而建立新坐标系,简称系.新旧坐标的关系为(5)把(5)式代入(4)式得(6)(6)式表示物块的运动是简谐
3、振动.若,则,对应于物块的平衡位置.由(5)式可知,当物块处于平衡位置时,物块下底面在系中的坐标为(7)物块运动方程在系中可写为(8)21利用参考圆可将其振动速度表示为(9)式中为振动的圆频率(10)在(8)和(9)式中和分别是振幅和初相位,由初始条件决定.在物块刚被释放时,即时刻有,由(5)式得(11)(12)由(8)至(12)式可求得(13)(14)将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得(15)(16)由(15)式可知,物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期;但物块的运动始终由(15)表示是有条件的,那
4、就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中.若物块从某时刻起全部浸没在湖水中,则湖水作用于物块的浮力变成恒力,物块此后的运动将不再是简谐振动,物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定.为此,必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况.显然,在系中看,物块下底面坐标为时,物块刚好被完全浸没;由(5)式知在系中这一临界坐标值为(17)即物块刚好完全浸没在湖水中时,其下底面在平衡位置以下处.注意到在振动过程中,物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠,下面分两种情况讨论:I..由(13)和(17)两式得(18)在这种情
5、况下,物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中.因而,物块从初始位置起,经一个振动周期,再次返回至初始位置.由(10)式得振动周期(19)物块从初始位置21出发往返一次所需的时间(20)II..由(13)和(17)两式得(21)在这种情况下,物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下.设从初始位置起,经过时间物块刚好全部浸入湖水中,这时.由(15)和(17)式得(22)取合理值,有(23)由上式和(16)式可求得这时物块的速度为(24)此后,物块在液体内作匀减速运动,以表示加速度的大小,由牛顿定律有(25)设物块从刚好完全浸
6、入湖水到速度为零时所用的时间为,有(26)由(24)-(26)得(27)物块从初始位置出发往返一次所需的时间为(28)评分标准:本题17分.(6)式2分,(10)(15)(16)(17)(18)式各1分,(20)式3分,(21)式1分,(23)式3分,(27)式2分,(28)式1分.21二、(23分)设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯,电梯顶端可超过地球的同步卫星高度R(从地心算起)延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星,其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度,然后启动推进装置
7、将卫星从太空电梯发射出去第29届全国复赛2。1.设在某次发射时,卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升,该卫星在上升到0.80R处意外地和太空电梯脱离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零)而进入太空。(1)论证卫星脱落后不会撞击地面。(2)如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇,即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起,在0~12小时及12~24小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。2.如果太空电梯地点位于东经110度处,在太空电梯上离地心距离为Rx处有一卫星从电梯脱落(脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为
8、零),脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切,而使卫星在该点着地,试求卫星着地点的经度。提示:此问要用数值方法求解高次方程。已知:地球质量M=6.0×1024kg,半径Re=6.4×106m的球体;引力恒量G=6.7×10-11N·m2
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