线性代数公式总结（文档3篇）

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1、线性代数公式总结（文档3篇）以下是网友分享的关于线性代数公式总结的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。第一篇线性代数重要公式：A*=An-1（kA）*=kn-1A*（k≠0）（A-1）*=（A*）-1（A*）*=An-2A（AB）T=BTAT（AB）-1=B-1A-1注：(A+B)*≠A*+B*(A+B)-1≠A-1+B-1①Ak=0⇒E-Ak=E⇒(E-A)(Ak-1+⋅⋅⋅+A+E)=E②若A=⎛ab⎫-A*1⎛d-b⎫⎝cd⎪⎪⎭，则A1==-⎝-ca57⎪⎪⎭a③1n(n-

2、1)=（-1）a1anan④A=（-1）mnBBA=(-1)mnABA⎛DB⎫4=⎝CO⎪⎪⎭⑤A⎛BO⎫1=DCA=⎛BD⎫⎝⎪⎪⎭2⎝OC⎪⎪⎭A=⎛OB⎫3⎝CD⎪⎪⎭其中B,C可逆时，则有⎛B-1O⎫1A-11=-1-1C-1⎪⎪A-1=⎛B--B-1DC-1⎫⎝-CDB⎭2⎝OC⎪-1⎪⎭A-1=⎛-C-1DB-1C-1⎫3B-1O⎪A-1=⎛OC-1⎫⎝⎪⎭4⎝B-1-B-1DC-1⎪⎪⎭（记忆：D左行右列加负号）⑥A=E+B则An=(A+E)n=(Cn0En+C1nEn-1B++C

3、nnBn)⑦A=αβT，则αTβ=βTα=tr(A)r(A)=1（AT）*=（A*）T（AB）*=B*A*(A+B)T=AT+BTA+B≠A57+B矩阵秩的等式与不等式专题总结矩阵秩的性质：性质1：设A为m⨯n矩阵，则r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT).方法：证明秩相等，可考虑证同解方程组构造,II）BX=0.若、同解⇒（I）与基础解系等价（I）AX=0（（I）（II）（II）⇒r(I)=r(II)⇒n-r(A)=n-r(B)⇒r(A)=r(B)证明：构造,II）r(A)=r(B)

4、.（I）AX=0（（I）（II）的任一解⇒AX0=0⇒ATAX0=0故X0的解为的解1若X0为（II）的任一解⇒ATAX0=0⇒X0ATAX0=0⇒(AX0)TAX0=02若X0为T（I）的解⇒AX0=0故X0的解为⇒同解⇒r(A)=r(ATA)（I）（II）思维定式：若题目条件中出现ATA或AAT时，一般使用性质1性质2：设A为n阶方阵，则r(An)=r(An+1).的任一解⇒Aη=0⇒An+1η=0故η的解为的解（I）（II）1若η为的任一解⇒An+1r=0（II）2若r为设Anr≠0设∃k

5、0,k1,,kn，使得k0r+k1Ar+knAnr=0左乘An⇒57k0Anr+k1An+1r+knAn+nr=0⇒k0=0左乘An-1⇒k1Anr+k2An+1r+knAn+n-1r=0⇒k1=0同理可证k2=k3==kn=0而n+1个n维向量必相关⇒矛盾，所以Anr=0，r也是的解（I）⇒同解⇒r(An)=r(An+1)（I）（II）性质3：设A，B为同型矩阵，则r(A±B)≤r(A)+r(B)思维定式：若题目条件中出现A+B,A-B,r(A)+r(B)时，一般使用性质3证明可参考P87张宇

6、9讲例5.16性质4：设A，B分别为m⨯n及n⨯s矩阵，则r(AB)≤min{r(A),r(B)}.思维定式：（1）若题目条件中出现AB时，一般使用性质4（2）r(AB)≤min{r(A),r(B)}等价于⎨⎧r(AB)≤r(A).⎩r(AB)≤r(B)性质5：设A，B分别为m⨯n及n⨯s矩阵，且AB=O,则r(A)+r(B)≤n.（n为内标）方法：证明秩不等，可考虑向量组的表示问题证明：Am⨯n，设Bn⨯s=（β1，β2，，βs）⇒A（β1，β2，，βs57）=0⇒（Aβ1，Aβ2，，Aβs）

7、=（0，0，，0）⇒Aβi=0i=1,2,,s故βi是AX=0的部分解且S=n-r(A),基解表示全部解n-r(A)=S=r(全部解)≥r（部分解）=r(β1,β2,,βs)=r(B)⇒r(A)+r(B)≤n性质6：设A为m⨯n矩阵，P，Q分别为m及n阶可逆矩阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).⎧n,r(A)=n⎪1，r(A)=n-1,(n≥2)性质7：设A为n阶矩阵，则r(A)=⎨⎪0,r(A)思维定式：若题目条件中涉及A*的秩时，一般使用性质7证明可参考P35汤家凤讲义向量

8、组的相关性专题总结证明题方法：1）定义若要使①x1α1+x2α2+xsαs=0成立，必须有②x1=x2==xs=0，称③α1，α2，，αs线性无关2）性质（8大性质P63）3）AX=0的解4）三秩相等P65矩阵等价、相似与对角化以及矩阵合同判断专题总结（1）矩阵等价定义：设A，B为同型矩阵（不一定为方阵），若A57经过有限次初等变换化为B，称A与B等价判别法：方法一：设A、B为同型矩阵，则A、B等价的充分必要条件是r(A)=r(B)方法二：设A、B为同型矩阵，则A、B等价的充分必要条件是存在可逆