立体几何教材答疑

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1、立体几何教材答疑1、学习立体几何要注意些什么？几何学是研究现实世界空间形式及其数量间的关系的一门学科，古埃及人为了兴建尼罗河的水利工程，进行过测地工作，几何学就是从中孕育出来的。公元前约300年，古希腊数学家欧几里得（Euclid,约前330年~前275年）总结了人们在实践中积累的几何知识，加以系统化，利用定义和公理来研究图形的性质，创立了欧氏几何学。欧氏几何按照所讨论的图形在平面内或在空间内而分为“平面几何”或“立体几何”，我们现在中学里学习的立体几何知识，就是以欧氏立体几何体系为基础，并加以精简、改革和更新而整理出来的一些

2、对同学们说来必要的内容。同学们在学习时，请记住“多看，多画，多想”这几个字。“多看”，就是多看教科书，多观察、比较各种各样的实体、模型和图形；“多画”，就是多练习绘立体图，并善于变换角度画；“多想”，就是把实体化成几何模型，然后想通各部分图形之间的关系，使自己闭上眼睛，几何图形仍在大脑中重现。此外，还必须学会把立体问题转化成平面几何问题。总之，通过学习立体几何，进一步培养自己的空间想象能力，并使自己的运算能力和思维能力得到进一步的提高。2、怎样理解“几何里的平面是无限延展的”（第1页）？　　平面是不加定义的基本概念。平面没有厚

3、薄，它向四周无限延展，无“边”无“沿”，就是说，它把整个空间（指我们生活着的空间）分成互不连通的两部分。如果一只蚂蚁在平面的一侧爬行，那么它永远不可能爬到这个平面的另一侧去。3、“有且只有一个”第（3页）这一概念的含义和重要性是什么？　　“有且只有一个”是由“有一个”与“只有一个”复合而成的，其中“有一个”说明对象是存在的，“只有一个”说明对象是唯一的。所以“有且只有一个”说明对象有“存在性”和“唯一性”。　　存在性和唯一性是数学中极其重要且被广泛运用的两个概念，我们已经学过许多这样的例子。例如，一条线段在一个平面有且只有一条

4、垂直平分线，所以垂直平分线有存在性和唯一性。另外，也有一些对象有存在性而没有唯一性。例如，与给定的三角形ABC相似的三角形是存在的，但不是唯一的。当然，还有一些对象没有存在性，从而也就谈不上唯一性。例如，方程0x＝5的解就属于这种情况。4、说“异面直线就是分别位于两个不同平面内的两条直线”行不行？为什么？　　不行。拿书本为例。不管你把书打开或合上，只要保持书页平整，则有两张书页的底边总是分别拉开位于两个不同平面内，但它们或者平行（当书合上时），或者相交（当书打开时），因此它们总是共面的，当然不可能成为异面直线。　　异面直线就是

5、不在同一平面内的两条直线。上面的问题实际上是把“不在同平面”误会成“在不同平面”。你看，两个字一颠倒，造成了概念上的重大错误！所以我们在学习时一定要一丝不苟。5、线线位置关系（第9页）和线面位置关系（第17页）的三种情况是怎样分析出来的？　　分类思想是重要的科学思想，分情况讨论是常用的科学研究方法。当我们把某个过程中的对象或可能产生的结果（即情况）进行分类时，要注意既不能溃漏也不能重复。　　例如研究空间内不重合二直线的位置关系，可进行如下的分类（共面就是“同在一个平面内”，不共面就是“不同在任何一个平面内”）；9　　线线位置关

6、系　　研究空间内一直线和一平面的位置关系，可进行如下的分类：　　线面位置关系6、教科书第10页的例题用的是什么证明方法？　　这道例题是要证明直线AB和α是异面直线。如果正面证明这个命题，即证明AB和α不共面，也就是AB和不平行且无公共点，那么就要确认这样的事实——AB和α不平行，且无论怎样延长这两条直线，它们都不会相交。显然，确认这样的事实将是十分困难的。事实上，将这两条直线无限延长就是一件无法实现的事情。于是，教科书使用了反证法。就是假设该命题的结论的反面成立，设法导出矛盾（可以与公理、定理的结论矛盾，也可以与该命题的已知条

7、件矛盾。教科书推导出A∈α，说明是与此命题的已知条件矛盾）。这个矛盾是由于反证假设引起的。这就是说，这一反证假设是错误的，由于该命题的结论的反面不能成立，即该命题的结论应该成立。　　反正法是极其重要且常用的一种证明方法，我们必须认真领会它的实质和用法。运用方证法，可以证明一些很有趣的命题。例如：　　求证世界上至少有两个人的头发根数相等。　　这一命题如果要正面证明，就应该把全世界许多人的头发数一数，然后进行比较，当然这是很难做到的。于是我们考虑用反证法。　　假设世界上任何两个人的头发都不相等，那么我们可以按照头发根数将人编号：秃

8、顶的编为0号，一根头发的编为1号，两根头发的编为2号，“三毛”编为3号，……。由于全世界的人口已超过50亿，所以一定有人编号大于50亿，假定中国的张明就是其中的一个人。但根据常识，人的头皮（能长头发的部分）的面积小于103cm2，且每平方厘米的头发根数小于103，因此任何人的