平面向量数量级在解析几何中的应用

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1、平面向量的数量积在解析几何中的应用尹建堂在解析几何中涉及到长度、角度、垂直等的诸多问题中，如能适当地构造向量，利用向量的数量积的几何意义和运算法则，将其转化为向量的运算，往往使问题简捷获解。一、与长度有关的问题通过向量的数量积可以计算向量的长度，这给解决线段长度问题拓宽了思路，提供了方便。这里常用的公式有：；若，则；若，则A、B两点的距离公式为。例1.在△OFQ中，，＝1，该三角形面积。以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，求：（I）用c表示；（II）的最小值及此时点Q的坐标；（III）最小时的椭圆方程。分析：本题重点是对（I）的求解

2、。取图1的坐标系后设，则可用表示。如何消去，将其转化为，则是解题的关键。根据面积条件易求；再由条件及可求得，从而可消去，得到的关于c的表达式。解：（I）取坐标系如图1所示。设Q（），又F，则图1，因为所以又，得，即所以，故知于是，得（II）由（I）知，当且仅当时，，此时点Q坐标为（）（III）设椭圆方程为，由（II）知Q，又点Q在椭圆上，得所以所求椭圆方程为。二、与角度有关的问题设向量都是非零向量，夹角为，则；若，则。以上是解决有关夹角问题的重要公式，称为夹角公式。利用上述公式，就能比较方便、容易地解决涉及角的诸多问题。例2.给定抛

3、物线，F是C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，设l的斜充为1，求与夹角的大小。分析：设出后，不难用韦达定理求出，于是容易求出及，再用夹角公式即可获解。解：由焦点F（1，0），，则，代入，整理，得设、，则于是有＝所以所以与夹角的大小为。例3.已知两点M（－1，0）、N（1，0），且点P使，成公差小于零的等差数列。（I）点P的轨迹是什么曲线？（II）若点P的坐标为，记为与的夹角，求。分析：（I）设P（x，y），求出各有关向量的坐标，利用数量积公式，将题设条件转化为即所求轨迹方程；（II）求夹角公式，结合（I）知＝0，先求出，进而

4、求出。解：（I）设P（x，y），则M（－1，0）、N（1，0），得，＝（2，0）所以于是，是公差小于零的等差数列，等价于所以点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆（除去两端点）。（II）因为点在右半圆上，所以则所以因为所以，所以。三、与垂直有关的问题对于非零向量，有；若，，则。这是体现“垂直”内涵的等式，借此可把解析几何复杂的位置关系转化为纯粹的向量运算。所以解析几何中涉及到垂直问题（垂直的判断或应用），利用这些向量关系式求解是非常方便的。例4.已知直线和圆，问是否存在实数b，使从点A（3，3）发出的光线被直线l反射后与圆O相切于

5、点？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由。分析：假设存在这样的b，则OB垂直于反射线所在直线A”B（A”为A关于l的对称点），利用的条件便可获解。解：假设存在满足条件的实数b，易得点A（3，3）关于直线的对称点A”（3－b，3＋b），则反射光线所在的直线为A”B，如图2图2因为，又则解得所以符合所给条件的实数b存在，其值为4。评注：本题解法虽多，但利用向量知识求解显得简捷明快。例5.如图3，过抛物线的对称轴上任一点P（0，m），作直线交抛物线于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点，设P分有向线段所成的比为，试证：。图3分析：欲证

6、得结论，需要分别求出的坐标，为此设，AB：，将其代入抛物线方程后求出，，且易求出各有关向量坐标及的坐标表示，然后通过向量运算和向量垂直的充要条件使结论获证。证明：依题意设，代入，得（*）设，则由（*），得由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得，从而得因点Q与点P关于原点对称，则Q（0，－m），从而得：，，，于是所以。通过以上各例使我们体会到：（1）利用向量数量积求解解几题的一般思路是，把线段或角化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算而获解。（2）利用向量求解具有容易掌握的规律性。