算法实验三最短路径

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1、算法分析与设计实验报告(三)姓名:XXX班级:XXXXX学号:XXXXXXX一、题目最短路径问题求解一、基本思想描述1）Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对

2、应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 Dijkstra算法具体步骤：　　（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（uU）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的

3、顶点k的距离加上边上的权。（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。2）Floyd算法的基本思想：可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(

4、kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。Floyd算法的基本步骤：   定义n×n的方阵序列D-1,D0,…Dn－1,初始化：D-1＝C，D-1[i][j]＝边的长度，表示初始的从i到j的最短路径长度，即它是从i到j的中间不经过其他中间点的最短路径。迭代：设Dk-1已求出，如何得到Dk（0≤k≤n-1）？Dk-1[i][j]表示从i到j的中间点不大于

5、k-1的最短路径p：i…j，考虑将顶点k加入路径p得到顶点序列q：i…k…j，若q不是路径，则当前的最短路径仍是上一步结果：Dk[i][j]=Dk－1[i][j]；否则若q的长度小于p的长度，则用q取代p作为从i到j的最短路径。因为q的两条子路径i…k和k…j皆是中间点不大于k－1的最短路径，所以从i到j中间点不大于k的最短路径长度为：Dk[i][j]＝min{Dk-1[i][j],Dk-1[i][k]+Dk-1[k][j]}。一、程序清单Dijkstra1importjava.io.*;publicclassdijkstra4{publicstaticint[]Dijsk

6、tra(int[][]weight,intstart){//接受一个有向图的权重矩阵，和一个起点编号start（从0编号，顶点存在数组中）//返回一个int[]数组，表示从start到它的最短路径长度intn=weight.length;//顶点个数int[]shortPath=newint[n];//存放从start到其他各点的最短路径String[]path=newString[n];//存放从start到其他各点的最短路径的字符串表示for(inti=0;i"+i);}int[]visited=n

7、ewint[n];//标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,1表示已求出//初始化，第一个顶点求出shortPath[start]=0;visited[start]=1;for(intcount=1;count<=n-1;count++)//要加入n-1个顶点{intk=-1;//选出一个距离初始顶点start最近的未标记顶点intdmin=Integer.MAX_VALUE;for(inti=0;i