最短路径算法研究

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1、最短路径算法研究　　摘要：最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法，本文主要对其中的两种：Dijkstra和Floyd-Warshall进行研究和分析实现。　　关键词：算法；动态规划；最短路径；编程开发　　0引言　　在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，

2、我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：　　（1）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。　　（2）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。5　　（3）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最

3、短路径。　　（4）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。　　用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、SPFA算法。Floyd-Warshall算法是求多源、无负权边的最短路，用矩阵记录图，时效性较差，时间复杂度O（V^3）。Dijkstra算法是求单源、无负权的最短路的算法，时效性较好，时间复杂度为O（V*（V+E）），可以用优先队列进行优化，优化后时间复杂度变为O（v*lgn

4、）。Bellman-Ford算法求单源最短路，可以判断有无负权回路（若有，则不存在最短路），时效性较好，时间复杂度O（V*E）。SPFA算法是对Bellman-Ford算法的队列优化，时效性相对好，时间复杂度O（kE）。本文主要研究Dijkstra和Floyd-Warshall算法细节。　　1.Dijkstra算法　　Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格?迪科斯彻（EdsgerWybeDijkstra）发现的单源最短路径算法，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚

5、最短路径的最优子结构性质。该性质描述为：如果P（i，j）={Vi...Vk...Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P（k，s）必定是从k到s的最短路径。　　证明该最优子结构为，假设P（i，j）={Vi...Vk…5Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P（i，j）=P（i，k）+P（k，s）+P（s，j）。而P（k，s）不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'（k，s），那么P'（i，j）=P（i，k）+P'（k，s）+P（s，j）

6、P（i，j）是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。　　由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径（Vi...Vk，Vj），Vk是Vj前面的一顶点。那么（Vi...Vk）也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j]，dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，假设存在G=，源顶点为V0，U={

7、V0}，dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点：　　1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；　　2.更新与i直接相邻顶点的dist值。（dist[j]=min{dist[j]，dist[i]+matrix[i][j]}）　　3.知道U=V，停止。　　2.Floyd-Warshall算法　　Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshallalgorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也

8、被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O（N3），空间复杂度为O（N2）。　　Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目