第3章 三角恒等变换 综合检测 word版含解析苏教版必修4数学

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1、(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________．解析：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝.答案：2．计算2cos2－1的值为________．解析：2cos2－1＝cos(2×)＝cos＝.答案：已知tanα＝－，则tan(α＋π)的值是________．解析：tan(α＋π)＝＝＝－.答案：－函数y＝sinx·(cosx＋sinx)的最小

2、正周期T＝________．解析：y＝sinx(cosx＋sinx)＝sinxcosx＋sin2x＝sin2x＋＝(sin2x－cos2x)＋＝sin(2x－)＋，∴最小正周期T＝π.答案：π5．tan18°＋tan42°＋tan18°tan42°＝________．解析：原式＝tan(18°＋42°)(1－tan18°tan42°)＋tan18°·tan42°＝(1－tan18°tan42°)＋tan18°tan42°＝.答案：已知α是第二象限角，且cosα＝－，则tan2α＝________．解析：由α是第二象限角，且cosα＝－，得sinα＝；∴s

3、in2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝cos2α－sin2α＝；∴tan2α＝＝－.答案：－已知sin2α＝，则tanα＋＝________．解析：tanα＋＝＋＝＝＝6.答案：6若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________．解析：由已知得：sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝－，∴＝＝－5.答案：－5＝________．解析：原式＝＝＝2.答案：2若α是第三象限角，且sinα＝－，则tan等于________．解析：∵α是第三象限角，且sinα＝－

4、，∴cosα＝－＝－，∴tan＝＝＝－.答案：－已知cosα＝－，则＝________．解析：＝＝＝＝－.答案：－计算＝________．解析：原式＝＝＝1.答案：1函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx的最大值为________．解析：∵f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋sin(2x＋)，∴当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最大值1＋.答案：1＋已知B是△ABC的一个内角，设f(B)＝4sinB·cos2＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是____

5、____．解析：f(B)＝4sinBcos2＋cos2B＝4sinB＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.∵f(B)－m<2恒成立，∴m>2sinB－1恒成立．∵01.答案：(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题满分14分)已知cos(α－β)＝，sinα＝，且α∈(0，)，β∈(－，0)，求sinβ的值．解：由已知得：－β∈(0，)，又α∈(0，)，∴α－β∈(0，π)；∵cos(α－β

6、)＝，∴sin(α－β)＝；由α∈(0，)及sinα＝得cosα＝；∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝＝－.(本小题满分14分)已知α∈(0，)，sinα＝，求tan2α和sin(2α＋)的值．解：由已知得cosα＝，∴tanα＝，∴tan2α＝＝＝.∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)，∵tan2α＝>0，∴2α∈(0，)，∴sin2α＝，cos2α＝.∴sin(2α＋)＝sin2α·cos＋cos2α·sin＝×＋×＝.(本小题满分14分)如图，A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴

7、的交点，点A的坐标为(，)，△AOB为正三角形．求sin∠COA和cos∠COB的值．解：∵点A的坐标为(，)，根据三角函数定义可知：x＝，y＝，r＝1；∴sin∠COA＝＝，cos∠COA＝＝.∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)＝cos∠COAcos60°－sin∠COAsin60°＝×－×＝.(本小题满分16分)设cos＝－，sin＝，且<α<π，0<β<，求cos(α＋β)．解：∵<α<π，0<β<，∴<α－<π，－<－β<.故由cos＝－，得sin＝，由sin＝，得cos＝.∴cos＝cos[(

8、α－)－(－β)]＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.∴cos(α＋β)＝