第二章极限习题及答案:函数的连续性

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1、分段函数的极限和连续性例设(1)求在点处的左、右极限,函数在点处是否有极限?(2)函数在点处是否连续?(3)确定函数的连续区间.分析:对于函数在给定点处的连续性,关键是判断函数当时的极限是否等于;函数在某一区间上任一点处都连续,则在该区间上连续.解:(1)∴函数在点处有极限.(2)函数在点处不连续.(3)函数的连续区间是(0,1),(1,2).说明:不能错误地认为存在,则在处就连续.求分段函数在分界点的左右极限,一定要注意在分界点左、右的解析式的不同.只有才存在.函数的图象及连续性例已知函数,(1)求的定义域,并作

2、出函数的图象;(2)求的不连续点;(3)对补充定义,使其是R上的连续函数.分析:函数是一个分式函数,它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围,给函数补充定义,使其在R上是连续函数,一般是先求,再让即可.解:(1)当时,有.因此,函数的定义域是当时,其图象如下图.(2)由定义域知,函数的不连续点是.(3)因为当时,所以因此,将的表达式改写为则函数在R上是连续函数.说明:要作分式函数的图象,首先应对函数式进行化简,再作函数的图象,特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致.利用函数图象判定方程是否存在实数根例

3、利用连续函数的图象特征,判定方程是否存在实数根.分析:要判定方程是否有实根,即判定对应的连续函数的图象是否与x轴有交点,因此只要找到图象上的两点,满足一点在x轴上方,另一点在x轴下方即可.解:设,则是R上的连续函数.又,因此在内必存在一点,使,所以是方程的一个实根.所以方程有实数根.说明:作出函数的图象,看图象是否与x轴有交点是判别方程是否有实数根的常用方法,由于函数是三次函数,图象较难作出,因此这种方法对本题不太适用.函数在区间上的连续性例函数在区间(0,2)内是否连续,在区间上呢?分析:开区间内连续是指内部每一

4、点处均连续,闭区间上连续指的是内部点连续,左点处右连续,右端点处左连续.解:(且)任取,则∴在(0,2)内连续.但在处无定义,∴在处不连续.从而在上不连线说明:区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线.函数在某一点处的连续性例讨论函数在与点处的连续性分析:分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法,也是一种重要的数学思想.明确讨论对象,确立分类标准,正确进行分类,以获得阶段性的结论,最后归纳综合得出结果,是分类讨论的实施方法.本题极限式中,若不能对x以1为标准,分三种情况分别讨论,则无法获得的表达式,使解答搁浅.讨论

5、在与点处的连续性,若作出的图像,则可由图像的直观信息中得出结论,再据定义进行解析论证.由于的表达式并非显式,所以须先求出的解析式,再讨论其连续性,其中极限式中含,故须分类讨论.解:(1)求的表达式:①当时,②当时,③当时,∴(2)讨论在点处的连续性:∴不存在,在点处不连续(3)讨论在点处的连续性:∴,在点处连续.根据函数的连续性确定参数的值例若函数在处连续,试确定a的值解:欲在处连续,必须使,故说明:利用连续函数的定义,可把极限转化为函数值求解.

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