四分术之“连大”“无连小”与三统历“日法”数源考

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1、四分术之“连大”“无连小”与三统历“日法”数源考（首发）王元钧文章简介：该文根据太初历之前的四分历朔望月数据29日又940分日之499、大月30日、小月29日和月朔小余月月承继的特点，对古四分历的“大月”、“小月”、“连大”、“无连小”、“无三连大”、“连大”月间距、连大朔小余的关联关系以及“连大”大周期等历法问题做了深入的数理分析，对修复先秦及汉初已出土历谱，具有基础性作用。该文通过连大月距的深入，找到了四分术其后世三统历的朔望月数据来源。关键词：四分术“三大二小”连大连大月距三统历数源我们知

2、道，汉孝武帝施行太初历前，我国历法采用的是四分术，其朔望月为29日又940分日之499。本文通过数理推导，探求四分术的月序排列规律，得出四分术“无连小”，“无三连大”以及两次“连大”之间的月间距数规律，为修复“六古历”提供基础性的工作。一、四分术“无连小”二、四分术“大月”的基本特征三、四分术“小月”的基本特征四、四分术“两月连大”的基本特征五、四分术“无三连大”六、四分术“连大”大周期七、四分术两次“连大”之间的月间距数是13月或15月八、四分术“连大”的月间距规律九、太初历（三统历）的日法根

3、源于四分术“连大”的月间距规律一、四分术“无连小”四分术朔望月29+499/940日，每月月朔小余必然介于0~939之间。假定第N月月朔小余为a，（0≤a≤939，a∈Z）。如果第N月为小月，则：a/940+29+499/940﹤30，即a﹤441.因为0≤a≤939，a∈Z，所以，0≤a≤440，a∈Z.于是，第N月日数（a/940+29+499/940）的区间是：0/940+29+499/940≤a/940+29+499/940≤440/940+29+499/940即29+499/940≤第

4、N月日数≤29+939/940日数取整，第N月日数为29日，不足一日的分数值作为下月月朔小余，即第N+1月朔小余必介于499~939之间（闭区间）。于是第N+1月的日数为：499/940+29+499/940≤第N+1月日数≤939/940+29+499/940即30+58/940≤第N+1月日数≤30+498/940.日数取整，因此第N+1月日数为30日。也就是说，不论第N月月朔小余是多少，如果它是小月，那么第N+1月必然是大月。因此，以29+499/940日为朔望月日数的四分历不可能有“两月

5、连小”的现象。12我们称其为：四分历“无连小”定理。那么什么情况下会出现连小呢？除非调小朔望月。我们知道，这里29+（499/940）数值中的940，按照后世三统历的规制，称“日法”，按照后汉四分历的叫法，称“部月”。那么我们如果保持日法不变，设940所命之分子为A。即令朔望月数值为29日940分之A，令连小的第一个小月的月朔小余为X（这里0≤A≤939，0≤X≤939，A，X∈Z）。两月连小意味着：29*2+0/940≤X/940+（29+A/940）*2≤29*2+939/940.即：0≤X

6、+2A≤939因为0≤X≤939，A，X∈Z，所以0≤A≤469也就是说，当朔望月数值小于或等于29日又940分之469时，才会出现两月“连小”。二、四分术“大月”的基本特征假定第N月月朔小余为a，（0≤a≤939，a∈Z）。如果第N月为大月，则：a/940+29+499/940≥30，即a≥441.因为0≤a≤939，a∈Z，那么有：441≤a≤939，a∈Z.反之，当441≤a≤939，a∈Z时，有30+498/940≥a/940+29+499/940≥30+0/940即第N月该月必然是大月

7、；且下一月第N+1月的月朔小余必然介于0～498之间。而当440≥a≥0，a∈Z时，有29+939/940≥a/940+29+499/940≥29+499/940即第N月该月必然是小月；且下一月第N+1月的月朔小余必然介于499～939之间。即如果第N月是大月，其月朔小余a必然介于441～939之间（闭区间），且该大月之后下一月第N+1月的月朔小余必然介于0~498之间（闭区间）；如果第N月月朔小余a介于441～939之间（闭区间），则第N月必然是大月。如果第N月月朔小余a介于0～440之间（闭

8、区间），则第N月必然不是大月，而是小月。我们称之为：四分历“大月”定理。三、四分术“小月”的基本特征假定第N月月朔小余为a，（0≤a≤939,a∈Z）前面论证四分历“无连小”定理过程中，得知：（1）如果第N月为小月，则0≤a≤440，a∈Z.由“大月”定理，得知：（2）如果第N月月朔小余的值域为：0≤a≤440，a∈Z则第N月必然是小月。（3）如果第N月月朔小余的值域为：441≤a≤939，a∈Z则第N月必然是大月。从论证“无连小”定理过程中得知，如果第N月为小月，第N+1月朔小余必然介于499