中考数学高分冲刺 充分发挥方程的工具性作用

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1、中考高分冲刺－冲刺二充分发挥方程的工具性作用方程是重要的数学工具，它可以干什么用呢？结论是：凡是有关“求值”的问题，不管是怎样的背景下和情境中，绝大多数情况都可以借助构造方程来解决。一、方程用于实际问题中的求值这方面的题目，同学们做的已经很多，这里只举一例。例1秋末，由于冷空气入侵，某地区地面气温急剧下降到0℃以下的天气称为“霜冻”。由霜冻所导致的植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害。秋末某天，气象台发布了该地区如下的降温预报：午夜0时至次日5时气温将匀速地由3℃降到—3℃，然后从次日5时至次日8时，气温将又匀速

2、地由—3℃升到5℃，一种农作物在0℃以下持续超过3小时就会造成霜冻灾害，根据气象台的预报信息，你认为是否有必要对该农作物采取防冻措施？并说明理由。【观察与思考】第一，这实际是要求出两个数值：一是0时至次日5时气温下降过程中在哪个时刻达到0℃；二是在次日5时至次日8时气温上升过程中，在哪个时刻达到0℃，显然是求值总问题。应分别构造方程来解决。第二，可以用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即（事实上，只要把本问题的“温度差”看作“路程”，它就相当于行程问题了。）简解：设在0时至次日5时之间的时，气温降到0℃，则依题

3、意有：（时）设在次日5时至次日8时之间的时气温升到0℃，依题意有：，解得（时）。气温在0℃以下的时间为3.625小时（大于3小时）因此，会对该农作物造成霜冻灾害，所以应对它采取防冻措施。二、方程用于数学问题中的价值数学问题中有形形色色或显或隐的求值问题，大都可借助方程来解决。1、借助方程，解决某些“数与式”的问题例1如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数”。如：，因此4，12，20这三个数都是神秘数，[来源:Zxxk.Com]（1）28和2008这两个数是神秘数吗？为什么？（2）两个

4、连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？【观察与思考】根据题中规定知道，若（※），(其中是整数，为正整数)，则就是“神秘数”。正整数是不是“神秘数”，就看使（※）式成立的整数是不是存在，存在时就是“神秘数”；不存在，就不是“神秘数”。这就是说，研究是不是“神秘数”的问题，就变成了研究（※）这个关于的方程有无整数解的问题。解：（1）方程有非负整数解3。即28是神秘数。方程，没有整数解，2008不是神秘数。（2），[来源:学.科.网]令解得不是整数。两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。例2按下面的程序计算，若

5、开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的的不同值最多有（）输入计算的值输出结果是否A、2个B、3个C、4个D、5个【观察与思考】本题相当于按如下规律构造的方程：，有正整数解的共有多少个。可验证只有上述4个方程有正数解。解：选C。对于许多有关特定要求的数，式问题，常需要借助方程来解决。2、借助方程，解决某些几何图形的求值问题例3图1是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长为，则六边形的周长是【观察与思考】拼成六边形的9个等边三角形按大小共分为5类，从大到小边长逐减小，因此，可通过构

6、造最大的等边三角形的边长的方程来求得它的值。从图2中可以看到最大三角形的边长是第四大三角形边长的2倍，易如：设最大的等边三角形的边长为，则有。图中六边形的六条边依次为：解：ABCDEFGNM例4如图，这是由五个边长为1的正方形组成的图形，过顶点A的一条直线和CD，ED分别相交于点M，N。假若直线MN绕过A旋转的过程中存在某一位置，使得MN将图形分成的两部分面积恰好相等，求这时线段EN的长。【观察与思考】可借助来构造关于EN的方程求其长。解：。∽得关于EN的方程解得（不合题意，舍去）。许多图形的求值问题，可借助方程来解

7、决，事实上，包括解直角三角形和用相似三角形的性质求边长，也是特定形式的方程，是方程思想的一种具体化表现。3、借助方程，解决函数相关的问题例5如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点E和F。从点A（1，0）和OABCDEFB（3，0）作轴的垂线，分别与直线交于点C和点D。已知，求直线的解析式。【观察与思考】若设直线的解析式为。现在要求出的值，为此去构造关于的方程组。而所给条件“”就是这两个方程组所依据的等量关系。解：设直线的解析式为，易知：依题意有方程组：解得直线的解析式为：（分）（米）BA10

8、—2500例6早晨，小丽与妈妈同时从家出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，图中所示是她们离家的路程（米）与时间（分）的函数图象。妈妈骑自行车走了10分钟接到小丽的电话，即以原速度骑车前往小丽的学校，并与小丽同时到达学校。已知小丽步行速度为每分50米，求小丽家与学校的距离及小丽早晨上学需要的时间。【观察与思考】点B的横坐标就是小丽早晨