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1、充分发挥导数“工具性”的作用刘才华（广水市第一高级中学，湖北432700）导数是高中数学新教材增加内容，也是初等数学和高等数学的衔接点.近年来在高考中也逐渐加重了对导数的考查，尤其是在考查函数、不等式、数列、解析几何和实际应用题的同时，以导数为“工具”，研究和解决问题已成为高考及各类试题的一个热点和亮点.因此，在复习备考中要树立应用导数的意识，充分发挥导数“工具性”的作用，提高应用导数解决问题的能力.1导数在函数中的应用导数在函数中的应用主要体现在求函数值域、最值、单调性区间和判断函数图像上，也
2、可通过构造函数求函数的定义域和应用导数定义求函数的极限.1.1借助导数求函数定义域例1（06年襄樊统考卷）函数的奇偶性是（）（A）是奇函数（B）是偶函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）既不是奇函数又不是偶函数解函数奇偶性应先考查定义域是否为关于原点的对称区间，∴，设，则≥，∴单调递增，又，∴是的唯一解，则函数的定义域为，是对称区间，又，∴为偶函数，选(B).-22O1-1-111.2借助导数判断函数图像例2(05年高考江西卷)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),8下面四个图象中的图象
3、大致是(）O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124（A）（B）（C）（D）解从函数的图像上知，当时,，∴，则在是单调增函数，而四个图像中只有(C)满足.1.3应用导数求单调区间例3（06年高考江西卷）已知函数在与时都取得极值.求、的值与函数的单调区间.解∵,∴,由题意知,,∴，,∴,当时，则或；当时，则.∴函数的递增区间是；递减区间是.1.4应用导数求函数的最值和值域例4(05高考全国卷Ⅲ)已知函数,,求函数的值域.解求连续函数在闭区间上的最值，只需求出
4、函数的极值和区间端点处的函数值，然后比较大小，其中的最大者为最大值，最小者为最小值.8∵，由得或(舍），又,，，∴的值域为.1.5根据导数定义求函数的极限例5已知，，的值为_________.解.2导数在不等式中的应用导数在不等式中的应用主要是通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，将函数值的大小与自变量的大小相互转化，解决比较数的大小，求不等式的解集和不等式的证明等问题.2.1应用导数比较数的大小例6已知、、，且，比较的大小.解：设，∵、、，∴，且，，.则，，，令，∴，则得，又，∴，即，8∴在
5、上为增函数，∴，即，∴.2.2应用导数解不等式例7（06年全国高中数学联赛陕西预赛题）若≥,≤，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）解∵≥，∴≥，令，∴，∴在是增函数,且≥，∴≥，又≤，∴.2.3应用导数证明不等式例8（01年全国高考卷）已知是整数，且≤.证明：.证明∵≤且是整数，∴≤.要证，即要证,即要证,∴令≥，则，又≥，∴，，∴，即在上是减函数，又≤，∴，即，8∴成立.3导数在解析几何中的应用在解析几何中主要是应用导数的几何意义研究与曲线的切线有关的问题，和利用导数解决解析几何、数列
6、和不等式的综合题.3.1应用导数几何意义研究与曲线的切线有关的问题例9（06年高考浙江卷）如图，椭圆与过点,的直线有且只有一个公共点，且椭圆的离心率，求椭圆方程.解由题意知，直线：是椭圆的切线，，∴，则椭圆方程为，∴椭圆在轴上方的部分曲线对应方程为，∴，设，则点处的切线斜率为,∴，代入方程得，∴切点的坐标为，又点在直线：上，8∴，即，则，∴椭圆方程为.3.2应用导数解决解析几何、数列和不等式的交汇题例10(06年高考重庆卷)已知一列椭圆:，，.若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中
7、、分别是的左、右焦点.(1)试证：≤(2)取，并用表示的面积，试证：且≥.证明：(1)（略）；(2)设坐标为，∵，∴，设点，由图形知，代入，∴，则，令，则8，由得，即或（舍），∴在上是减函数，在上是增函数，∴，且当≥时，有，即且≥.4应用导数解实际应用题应用导数解决实际应用题主要是将实际问题抽象成函数模型，应用导数研究函数的单调性，解决最优解等问题.例11（06年高考江苏卷）请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3的正六棱锥（如右图所示）.试问当帐篷的顶点到底面中
8、心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设为，则,∴正六棱锥底面边长为：，∴底面正六边形的面积为:=，∴帐篷的体积为：，∴,令，则或（舍），8当时，，为增函数；当时，，为减函数；∴当时，最大.答：当为时，帐篷的体积最大.纵观上面的例子,我们应该发现许多情况下题目好像与导数没有明显的联系，甚至已知条件中连函数都没有，但通过观察分析，构造函数，应用导数我们很好地解决了问题.因此要强化树立应用导数的意识，充分发挥导数在解决问题中的“工具性”作用.8
