2019年高考数学(文)一轮复习第3章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

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1、北师大版2019届高考数学一轮复习学案第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式[考纲传真]　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．(对应学生用书第41页)[基础知识填充]1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－t

2、anα－tan_α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限[知识拓展]同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)．(3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)．(4)sinα＝tanαcosα.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)6北师大版2019届高考数学一轮复习学案(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　)(3)sin(π＋α)＝－sinα

3、成立的条件是α为锐角．(　　)(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．(教材改编)已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα等于(　　)A．－　　　B．－　　　C．　　　D．B　[∵sinα＝，α是第二象限角，∴cosα＝－＝－.]3．(2017·陕西质检(二))若tanα＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)A．－B．－C．D．B　[sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝＝＝－，故选B．]4．(2016·四川高考)sin750°＝________.　[sin750°＝sin(

4、750°－360°×2)＝sin30°＝.]5．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.－　[因为sin＝cosα＝，α∈，所以sinα＝＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－.](对应学生用书第41页)6北师大版2019届高考数学一轮复习学案同角三角函数基本关系式的应用　(1)(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝(　　)A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．(2)(2018·宁德模拟)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________.【导学号：00090085】(1)A　　(2)－　[(1)∵tanα＝，则cos2α

5、＋2sin2α＝＝＝＝，故选A．(2)由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝得2sinαcosα＝－，所以(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，又α是第二象限角，所以cosα－sinα＜0，所以cosα－sinα＝－，因此cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝×＝－.][规律方法]　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1

6、±2sinαcosα，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.[变式训练1]　(1)已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值为(　　)A．－B．－6北师大版2019届高考数学一轮复习学案C．D．(2)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为________．(1)D　(2)－　[(1)依题意得：＝5，∴tanα＝2.∴sin2α－sinαcosα＝＝＝＝.(2)由tanα＝－，得sinα＝－cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cosα＜

7、0，∴cosα＝－，sinα＝，故sinα＋cosα＝－.]诱导公式的应用　(1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)A．{1，－1,2，－2}　　B．{－1,1}C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}(2)(2018·郴州模拟)已知sin＝，则cos＝________.【导学号：00090086】(1)C　(2)　[(1)当k为偶数时，A＝＋＝2；k为奇数时，A＝－＝－2.