2013年陕西数学中考第23题评卷小结(赵建利)

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1、2013年陕西数学中考第23题评卷小结1、考查目标：本解答题考查了切线的性质应用，圆内角的性质的应用，正方形的判定与性质的应用及三角函数的定义及正切值的求法，以及转化思想，属于基础题，本题题第二问难度较往年都大，关键在于做辅助线的切入点不易想到，此题除做过切点的半径外，需过点E做BC的垂线，将∠ACD进行转化；2、评卷中学生的解法：本题的解题方法相对较多，但是绝大多数学生还是使用最基本的证明方法。如下所示：解法一、（1）∵EF是⊙O的直径∴∠EAF=90°…………………..（1分）∴∠ABC+∠ACB=90°…………………..（3分）（2）连接OD，则OD⊥BD………………

2、…..（4分）过点E作EH⊥BC，垂足为点H.∴EH∥OD∵EF∥BC，OE=OD∴四边形EODH是正方形…………………..（6分）∴EH=HD=OD=5，又∵BD=12∴BH=7在Rt△BEH中，tan∠BEH==,而∠ABC+∠BEH=90°，∠ABC+∠ACB=90°∴∠ACB=∠BEHtan∠ACB=…………………..（8分）解法二、连接DO并延长交BA于点H∵OE∥BD∴△HEO∽△HBD…………………..（4分）∴=即=∴HO=∴HD=HO+OD=…………………..（5分）∵l切⊙O于点D∴OD⊥BC在Rt△HBD中，BD=12∴tan∠BHD==…………………

3、..（7分）∵∠HBD+∠BHD=90°又∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠BHD=∠ACB∴tan∠ACB=…………………..（8分）(注：第（2）问5分，作辅助线，得1分；求出直角三角形中的线段长，得2分；证得角相等，得1分；求得结果得1分。过点F作BC的垂线段构造相似三角形求解，按以上解法对应赋分。其他解法对应赋分)证法三、连接DO并延长交AB于点H∵l切⊙O于点D∴OD=OE=5,HD⊥BC∵OE∥BD∴△HOE∽△HDB∴=即=∴HO=∵∠HBD+∠BHD=90°又∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠BHD=∠ACB在Rt△HOE中，BD=12∴tan∠ACB=tan∠

4、BHD===在评卷的过程中，我们还发现了下面几种解题方法：证法一、连接DO并延长交AB于点H∵l切⊙O于点D∴HD⊥BC过点A作AG⊥BC于点G∴HD∥AG∵EF是⊙O的直径∴∠EAF=90°∴∠1+∠2=90°在Rt△HOE中，∠1+∠C=90°∴∠2=∠C又∵HD∥AG∴∠2=∠3∴∠3=∠C∵OE∥BCOD=OE=5∴△HOE∽△HDB∴=即=∴HO=在Rt△HOE中∴tan∠ACB=tan∠3===证法二、过点E作EH⊥BC于点H，过点F作FG⊥BC于点G∴∠1+∠B=∠2+∠ACB=90°∵EF是⊙O的直径∴∠EAF=90°∴∠B+∠C=90°∴∠1=∠C又∵∠E

5、HB=∠CGF=90°∴△EHB∽△CGF∴=连接OD∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC∵EF∥BC，∴∠OEH=∠EHD=∠HDO=90°；∴四边形EHDO为矩形。∴EH=OD=5OE=HD=5∴BH=7同理可得四边形ODGF为矩形∴FG=OD=5∴=∴CG=在Rt△FGC中,tan∠ACB===证法三、连接OD，延长OE，作BG⊥OE延长线于点G。∵直线l切⊙O于点D，∴EF∥l∵EF∥l，∴BG⊥OG，GO⊥OD，OD⊥BD∴四边形BGOD为矩形。∴GO=BD=12,BG=OD=OE=5∴GE=12-5=7∵EF是⊙O的直径∴∠EAF=90°∴∠2+∠3=90°∴∠1=

6、∠3∵∠GBD=∠1+∠2=90°∴tan∠ACB=tan∠1==证法四、过点F作FN∥AB，交BC于点N；连接OD，NF交OD于点M∵EF∥BC∴△FOM∽△NDM∴=又∵AB∥NF∴四边形EBNF为平行四边形∴ND=BD–BN=BD–EF=2∵=∴=∴==∵OD=OF∴=在平行四边形BNFE中，∴∠B=∠1∵EF为直径∴∠BAC=90°∴∠B=∠C又∵∠1+∠3=90°∴∠C=∠3tan∠ACB=tan∠3==3、典型错误：①书写格式不规范。例如：漏写角的符号，把∠ABC+∠ACB=90°写成∠B+∠C=90°；角的表示方法有误，把∠ABC写成∠BA或∠B或∠BAC；直

7、径EF的表示有误，把EF是直径表示成EF为半径；②学生口算能力比较差，评卷中多处出现“∵BD=12HD=5∴BH=6”的错误。②对知识点的理解不够清晰。例如；由AD∥BC得到∠A+∠B=180°，但很多学生写成∠A+∠D=180°或∠C+∠B=180°；由四边形ABCD是等腰梯形得到∠B=∠C，但很多学生写成∠B=∠D或∠B=∠A；③错用特殊角。例如：要证明∠ABC+∠ACB=90°，所以∠A=∠B=90°；或用量度的方法把∠ABC、∠ACB特殊成45°，或将∠ABC、∠ACB特殊成40°、50°进行代入求证；④语