2018版高中数学人教版a版必修五学案：§3.4　基本不等式：√ab≤（a+b）2 （一）

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1、2017-2018学年人教A版高中数学必修5学案[学习目标]　1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一　重要不等式及证明如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．知识点二　基本不等式1．内容：≤，其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立．2．证明：∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0.∴a＋b≥2.∴≤，当且

2、仅当a＝b时，等号成立．3．两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几何意义：如图所示，以长度为a＋b的线段AB为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD，42017-2018学年人教A版高中数学必修5学案DB，易证Rt△ACD∽Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝.这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即≥，当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，等号成立．知

3、识点三　基本不等式的常用推论(1)ab≤≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．题型一　利用基本不等式比较大小例1　设00，即>a，排除D项，故选B.方法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.反思与感悟　若给定的代数式中既有“和式”又有“积式

4、”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a＞0，b＞0，同时注意能否取等号．跟踪训练1　若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2C.＋＞D.＋≥2答案　D解析　对于A，应该为a2＋b2≥2ab，漏等号，故A错误；对于B，当a＜0，b＜0时，ab＞0，但a＋b＜2，故B不成立；对于C，当a＜0，b＜0时，ab＞0，故C不成立；对于42017-2018学年人教A版高中数学必修5学案D，∵ab＞0，则＞0且＞0，∴＋≥2＝2.当且

5、仅当＝，即a＝b时，取“＝”，故D正确．题型二　用基本不等式证明不等式例2　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.证明　＋＋＝＋＋＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．反思与感悟　在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．跟踪训练2　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.证明　(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2·2·2＝8ab

6、c.当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立．1．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一个是(　　)A．a2＋b2B．2C．2abD．a＋b答案　D解析　∵0＜a＜1，0＜b＜1，a≠b，∴a＋b＞2，a2＋b2＞2ab.∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．又∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，42017-2018学年人教A版高中数学必修5学案∴a＋b最大．故选D.2．设

7、a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)A．6B．4C．2D．8答案　B解析　∵a＋b＝3，∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4.3．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________．答案　a＝2解析　令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2.4．若a＞b＞1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则它们的大小关系是________．答案　R＞Q＞P解析　∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，∴Q＞P，又Q＝(lga＋lgb)＝lgab＝lg＜lg＝R，∴R＞Q＞P.1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥前者a，b∈R，

8、后者a，b∈R＋；另外它们都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也