2018版高中数学人教版a版选修1-1学案:3.3.3 函数的最大(小)值与导数

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案3.3.3 函数的最大(小)值与导数[学习目标] 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点一 函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得.知识点二 求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最

2、小值.知识点三 最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得.如图是y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得.题型一

3、 求函数在闭区间上的最值92017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案例1 求下列各函数的最值:(1)f(x)=2x3-6x2+3,x∈[-2,4];(2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1].解 (1)f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).令f′(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表x-2(-2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)+0-0+f(x)-37↗极大值3↘极小值-5↗35∴当x=4时,f(x)取最大值35.当x=-2时,f(x)取最小值-37.即f(x)的最大值为35,最小值为-37.(2)f′(x

4、)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3,∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0,∴f′(x)在[-1,1]上为增函数.故x=-1时,f(x)最小值=-12;x=1时,f(x)最大值=2.即f(x)的最小值为-12,最大值为2.反思与感悟 (1)求函数的最值,显然求极值是关键的一步.但仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.①求出导数为零的点.②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值.(2)若函数在闭区间[a,b]上连续且单调,则最大、最小值在端点处取得.跟踪训练1 求下列函数的最值:(1)f(x)=x+sinx,x∈[0,2π];(2)f(x)

5、=e-x-ex,x∈[0,a],a为正实数.解 (1)f′(x)=+cosx,x∈[0,2π].令f′(x)=0,得x=或x=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:92017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案x02πf′(x)+0-0+f(x)0单调递增↗+单调递减↘-单调递增↗π所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.即f(x)的最小值为0,最大值为π.(2)f′(x)=′-(ex)′=--ex=-.当x∈[0,a]时,f′(x)<0恒成立,即f(x)在[0,a]上是减函数.故当x=a时,f(x)有最小值f

6、(a)=e-a-ea;当x=0时,f(x)有最大值f(0)=e-0-e0=0.即f(x)的最小值为e-a-ea,最大值为0.题型二 含参数的函数的最值问题例2 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解 (1)f′(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3).令f′(x)<0,得x<-1或x>3,故函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2

7、),因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,所以f(-1)是f(x)的极小值,且f(-1)=a-5,所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.所以f(-1)=-2-5=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.反思与感悟 92017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案函数的最值与极值及单调性密切相关,因而在求解函数的最

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