2018版高中数学人教版a版选修1-1学案：3.3.3 函数的最大（小）值与导数

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案3.3.3　函数的最大(小)值与导数[学习目标]　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.知识点一　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得.知识点二　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最

2、小值.知识点三　最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.题型一

3、　求函数在闭区间上的最值92017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案例1　求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].解　(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值为35，最小值为－37.(2)f′(x

4、)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f′(x)在[－1,1]上为增函数.故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟　(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一步.但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得.①求出导数为零的点.②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值.(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得.跟踪训练1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]；(2)f(x)

5、＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数.解　(1)f′(x)＝＋cosx，x∈[0,2π].令f′(x)＝0，得x＝或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：92017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案x02πf′(x)＋0－0＋f(x)0单调递增↗＋单调递减↘－单调递增↗π所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.即f(x)的最小值为0，最大值为π.(2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－.当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数.故当x＝a时，f(x)有最小值f

6、(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.题型二　含参数的函数的最值问题例2　已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.解　(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3).令f′(x)＜0，得x＜－1或x＞3，故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞).(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)＞f(－2

7、)，因为在(－1,3)上f′(x)＞0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，所以f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5，所以f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.所以f(－1)＝－2－5＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.反思与感悟　92017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案函数的最值与极值及单调性密切相关，因而在求解函数的最