2018版高中数学人教b版必修四学案3.1.3 两角和与差的正切

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1、3.1.3　两角和与差的正切[学习目标]　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．[知识链接]1．如何化简tan呢？答　因为tan的值不存在，不能利用公式Tα－β，所以改用诱导公式来解．tan＝＝.2．你能根据同角三角函数基本关系式tanα＝，从两角和的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)的公式吗？答　当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝＝.当cosαcosβ≠0时，分子分母

2、同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝.[预习导引]1．两角和与差的正切公式(1)Tα＋β：tan(α＋β)＝.(2)Tα－β：tan(α－β)＝.2．两角和与差的正切公式的变形(1)Tα＋β的变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．6tanαtanβ＝1－.(2)Tα－β的变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)．tanαtanβ＝

3、－1.要点一　利用和(差)角的正切公式求值例1　求下列各式的值：(1)；(2)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.解　(1)原式＝＝tan(60°＋15°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋.(2)∵tan45°＝＝1，∴tan15°＋tan30°＝1－tan15°tan30°，∴原式＝(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1.规律方法　公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))

4、三者知二可表示或求出第三个．跟踪演练1　求下列各式的值：(1)；(2)tan36°＋tan84°－tan36°tan84°.解　(1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－.(2)原式＝tan120°(1－tan36°tan84°)－tan36°tan84°6＝tan120°－tan120°tan36°tan84°－tan36°tan84°＝tan120°＝－.要点二　利用和(差)角的正切公式求角例2　若α，β均为钝角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β.解　∵(1－tanα)(1－tanβ)

5、＝2，∴1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2，∴tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，∴＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝.规律方法　此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值，(2)确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．跟踪演练2　已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求角α＋β.解　由已知得∴tanα、tanβ均为负，∴－<α<0，－<β<0.

6、∴tan(α＋β)＝＝＝.∵－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.要点三　和(差)角的正切公式的综合应用例3　已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．解　∵tanA＋tanB＝tanAtanB－1，∴(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.又∵0

7、中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．跟踪演练3　已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.证明　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan(A＋B)＝＝－tanC.∴tanA＋tanB＝－tanC＋tanAtanBtanC.即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.1．若tan(－α)＝3，则tanα的值为(　　)A．－2B．－C.D．2答案　B解析　tanα＝tan＝＝＝－.2．已知A＋B＝45°，则(1＋tan

8、A)(1＋tanB)的值为(　　)A．1B．2C．－2D．不确定答案　B解析　(1＋tanA)·(1＋tanB)＝1＋(tanA＋tanB)＋tanAtanB＝1＋