2018版高中数学人教b版必修二学案2.3.4　圆与圆的位置关系

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1、2.3.4　圆与圆的位置关系[学习目标]　1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.[知识链接]1.判断直线与圆的位置关系的两种方法为代数法、几何法.2.两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含.[预习导引]圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2

2、r1－r2

3、

4、2d＝

5、r1－r2

6、d<

7、r1－r2

8、(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.消元一元二次方程要点一　与两圆相切有关的问题例1　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程.解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则＝r＋1，①＝，②＝r.③联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－4，r＝6，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.6规律方法　两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O

9、1、O2，半径分别为r1、r2，则两圆相切(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).跟踪演练1　求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程.解　设所求圆的圆心为P(a，b)，则＝1.①(1)若两圆外切，则有＝1＋2＝3，②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有＝

10、2－1

11、＝1，③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综

12、上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.要点二　与两圆相交有关的问题例2　已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解　设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，①－②得：3x－4y＋6＝0.∵A，B两点坐标都满足此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r1＝3.又C1到直线AB的距离为d＝＝.

13、∴

14、AB

15、＝2＝2＝.即两圆的公共弦长为.规律方法　1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.6(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪演练2　求两圆x2＋y2－2x＋10y－24

16、＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.解　联立两圆的方程得方程组，两式相减得x－2y＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程.方法一　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组，解得或.所以

17、AB

18、＝＝2，即公共弦长为2.方法二　由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3)2＋l2，解得l＝，故公共弦长

19、2l＝2.要点三　直线与圆的方程的应用例3　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝

20、1，6即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法　解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：跟踪演练3　台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(　　)A.0.5小时B.1小时C.