相似三角形的性质和应用 辅导讲义

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1、个性化辅导讲义课题相似三角形的性质和应用教学目标　　1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.　　2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.　　3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点、难点　1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.　　2

2、、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.知识框架1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.考点一：计算线段的长或线段之间的比典型例题1典型例题1、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，DB=5，求AD的长．分析：由已知AC=6，DB=5，选用来解决，考虑△ACD∽△ABC．解：在△ACD和△ABC中，∵∠A

3、=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC．∴．∴．设AD=x，则AB=x+5，又AC=6，∴．解得：x=4（舍去负值）∴AD=4．8杭州龙文教育科技有限公司个性化辅导讲义针对练习：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，底边上的高AD=10cm，腰AC上的高BE=12cm．（1）求证：；2典型例题2已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC．思考：欲证BC2＝2CD·AC，只需证．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办？证法一（构造2CD

4、）：如图，在AC截取DE＝DC，∵BD⊥AC于D，∴BD是线段CE的垂直平分线，∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，又∵AB＝AC，∴∠C=∠ABC．∴△BCE∽△ACB．∴，∴∴BC2＝2CD·AC．针对练习：证法二（构造2AC）：证法三（构造）：知识概括、方法总结与易错点分析1、相似三角形对应边成比例；2、从结论出发找到边所在的三角形，再利用已知条件证明三角形相似。考点二：证明线段平行8杭州龙文教育科技有限公司个性化辅导讲义典型例题典型例题．如图，为的角平分线，垂直于的延长线于，于，，的延长线交于点，求证：证明，，

5、，.又，∽，即.针对练习：如图，梯形中，，为的中点，分别连结，，，，且与交于，与交于，求证：知识概括、方法总结与易错点分析相似三角形的判断、性质和平行线的判定。考点三：求相似三角形的周长典型例题例：两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm，这两个三角形的周长分别是多少？解：因为相似三角形的周长比等于对应比，所以相似三角形的对应边是4比5，则周长比也是4比5设小三角形周长为A，大三角形周长为BA：B=4：5A=360÷（4+5）×4=160cmB=360÷（4+5）×5=200cm所以这两个三角形的周长分

6、别是160cm和200cm针对练习：如图，D、E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD＝3，AB＝58杭州龙文教育科技有限公司个性化辅导讲义，求：（1）；（2）△ADE与△ABC的周长之比；知识概括、方法总结与易错点分析相似三角形的周长比等于相似比考点四：计算多边形的面积典型例题1．如图，已知：在与中，，交于，且，交于，。求和解答：，∽又，，，∽，又∽，，，与等高针对练习．如图，已知，在梯形中，对角线、相交于点，若的面积为，的面积为，其中，.求：梯形的面积典型例题2．已知

7、等腰直角三角形的面积为，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5：2，求矩形的面积解：如图，中，，，内接矩形由等腰直角三角形和矩形的性质，得8杭州龙文教育科技有限公司个性化辅导讲义，设为，则由勾股定理得矩形面积漏解：如图所示的情况时，，同理可得针对练习1：如图所示直角中，两直角边长分别为3和4，它的内接正方形有两种情况：①一边在斜边上；②一边在直角边上。试比较这两种情况中正方形的大小。针对练习2：是的高，是的中点，交于，若，，，求知识概括、方法总结与易错点分析⑴在相似形中，面积比等于相似比的平方；⑵同底（或

8、等底）三角形面积之比等于对应高的比；⑶同高（或等高）三角形面积之比等于对应底的比。考点五：相似三角形的实际应用例1：某市经济开发区建有三个食品加工厂，这三个工厂和开发区处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且米，米，米．自来水公司已经修好一条自来水主管道两厂之间的公路与自来水管道交于处，米．若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道的费用由