数分a参考答案 (2)

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1、四川理工学院试卷（2010至2011学年第二学期）课程名称：数学分析命题教师：李泽军适用班级：2010级信息与计算科学1.2班、数学与应用数学1.2班考试(考查)考试年月日共6页题号一二三四五六总分评阅（统分）教师得分注意事项：1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试题一、填空题（每小题2分，共20分）1

2、、定积分大小关系是>2、设数集H={}，则它的聚点是1和-13、反常积分（）的敛散性是收敛4、函数在区间[a，b]上连续是在区间[a，b]上可积的充分条件5、设S=（0，1），则S的一个开覆盖是6、若可微，连续，，且则7、积分值=08、设R（x）为Riemann函数，则09、不定积分=ln

3、secx+tanx

4、+C10、非正常积分的敛散性是收敛第1页二、判断题（每小题2分，共10分）1、按段光滑曲线一定是可求长的。（√）2、积分=（）3、若在区间[a，b]上可积，则在区间[a，b]上也可积（√）4、任何有界无限点集必有一个聚点（√）5、设为[）上

5、的连续函数，则在[）上一定有最值（）三、计算积分（每小题5分，共10分）1、解：令,………….2分原式==………….1分=……..1分=……1分2、解：原式==+…………2分=+……………………..1分=+………….1分=…………………………………….1分四、计算题（共30分）1、设f为连续的可微函数，试求，并求的值。（7分）解：=………………………..1分=……………………..1分=…………………1分=……………………..1分=………………………………….1分故：==1………….2分2、求极限（8分）解：原式=……………..2分=…………2分=

6、…………2分=2…………………………………..2分3、（8分）解：=…………..2分=………………..2分=……………………….2分=…………………………………2分4、求心形线(a>0)所围成的面积（7分）解：所给图形是用极坐标方程给出，图形关于级轴对称，只需要求极轴上半部分的面积，在极轴的上半部分：…………………2分…………………….2分=………………………2分=…………………………………1分五、问答题（共14分）1、讨论积分的敛散性（7分）解：设I=，（1），积分I为正常积分，收敛；………………………………1分（2），为瑕点，由于故时，I收敛

7、，时，I发散………………………………………….2分（3），为瑕点，由于故时，I收敛，时，I发散…………………………………………..2分（4），，都是瑕点，记收敛发散收敛发散显然当，I收敛，其余情形I发散。……………….2分2、设H={}试问：（1）H是否（0，1）的一个开覆盖，为什么？（3分）（2）H中是否有（，1）的一个有限开覆盖？如有请找出，如没有，请说明理由（4分）解：（1）H是（0，1）的一个开覆盖。事实上，，，使得，即有：（）从而H是否（0，1）的一个开覆盖。…………………3分（2）H中是有（，1）的一个有限开覆盖，它们是满足。…………

8、….4分六、证明题（每小题8分，共16分）1、设f为上以T为周期的连续函数，试证明对任何实数a，都有：证明：………….2分对：令，则………………………………..2分…………………………………………..2分=………….2分故：2、用区间套定理证明闭区间上连续函数的介值定理（8分）证明：首先叙述介值定理：设在闭区间[a,b]上连续，且，则对任何介于与之间的实数，，使得：令，从而且在[a,b]上连续。………………….2分记，显然且，将两等分，则总有一个闭区间的两端点处的值异号；记此闭区间为，并有显然且，将两等分，则总有一个闭区间的两端点处的值异号；……

9、…………………………………………………………….记此闭区间为，并有显然且…………………………………………………………….得闭区间列满足：且由区间套定理，惟一一点……………………….4分现证明一方面：若，不妨设，由在[a,b]上的连续性，在点处连续，由局部保号性知：，有；……………………..1分另一方面：由区间套定理对上述：有，而这显然是矛盾。……………………………………………1分