044空间几何量的计算(学生学案)(生)

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1、专题044：空间几何量的计算（学生学案）（生）考点要求：1、掌握几何体的表面积和体积的计算。2、掌握角的相关计算，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角。3、掌握距离的相关计算，特别是利用等体积法求点到面的距离。了解异面直线的距离即公垂线段。理解两个平行平面的距离的计算。一、知识结构1斜线,垂线,射影⑴垂线：自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线：一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影：过斜线

2、上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长；⑶垂线段比任何一条斜线段都短3.异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的

3、一条上异面直线所成的角的范围：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作．4．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°角。直线和平面所成角范围：[0，]（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角5二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两

4、个面分别为的二面角记为-4-6．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角（1）二面角的平面角范围是；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7.两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线有且只有一条8．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的

5、长度，叫做两条异面直线间的距离．*9三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：*10．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式：．11空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点

6、，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；12．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．13模长公式：若，则．14．两点间的距离公式：若，，则基础自测：1.一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为2.在长方体中，，，则四棱锥的体积为cm3．3.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则△OAB的面积为______________.4.正方体的棱长为1，E为

7、线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.-4-5．已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为________。例题选讲：1.异面直线所成的角例1：直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（）(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°2.直线与平面所成的角例2：（2013年高考大纲卷（文11））已知正四棱锥的正弦值等于（　　）A．B．C．D．3．二面角及其平面角例3：已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线