2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案1.5.1 二项式定理

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1、1．5.1　二项式定理　　问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C种，式子为Ca3b；若有两个

2、选b，则其余两个选a，其方法有C种，式子为Ca2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn.1．二项式定理公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项Can－rbr叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Can－rbr.3．二项式系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数

3、．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C，C，…，C，…，C.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.8二项式的展开[例1]　求下列各式的展开式：(1)(a＋2b)4；(2)5.[思路点拨]　可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开．[精解详析]　(1)根据二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，得(a＋2b)4＝Ca4＋Ca32b＋Ca2(2b)2＋Ca(2b)3＋C(2b)

4、4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.(2)法一：5＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)·4＋C5＝32x5－120x2＋－＋－.法二：5＝＝[C(4x3)5＋C(4x3)4·(－3)＋…＋C(4x3)·(－3)4＋C·(－3)5]＝(1024x15－3840x12＋5760x9－4320x6＋1620x3－243)＝32x5－120x2＋－＋－.[一点通]　形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a－b)n的展开式中会出现正负

5、间隔的情况．1．写出(1＋2x)4的展开式．解：(1＋2x)4＝C×14×(2x)0＋C×13×(2x)1＋C×12×(2x)2＋C×11×(2x)3＋C×10×(2x)4＝1＋8x＋24x2＋32x3＋16x4.2．求4的展开式．8解：法一：4＝C4－C3·＋C()2·2－C·3＋C4＝x2－2x＋－＋.法二：4＝4＝(2x－1)4＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋－＋.求二项展开式的特定项[例2]　已知二项式10.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项．[思路点拨]　(1)直接利用通项公式求解；(2)利用通项公式Tr＋1＝Can－rb

6、r，设第r＋1项为常数项，令x的指数等于0即可求出r.[精解详析]　(1)10的展开式的第5项为T5＝C·(x2)6·4＝C·4·x12·4＝x10.(2)设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝C·(x2)10－r·r＝C·x20－r·r(r＝0,1,2，…，10)，令20－r＝0，得r＝8，8所以T9＝C·8＝，即第9项为常数项，其值为.[一点通]　(1)二项展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项Tr＋1依赖于r，公式中的二项式的第一个量a与第二个量b的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n.

7、(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定Tr＋1中r的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x－2y)6展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x－2y)6展开式中的第4项为Cx6－3·(－2y)3＝－160x3y3.答案：－160x3y34．二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．解析：二项展开式的通项是Tr＋1＝Cx