2017-2018学年高中数学人教a版选修4-1学案创新应用第二讲 五 与圆有关的比例线段含解析

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1、五与圆有关的比例线段[对应学生用书P31]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.2．割线有关定理(1)割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．②图形表示：如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD.(2)切割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②图形表示：如图，⊙O的切线PA，切点为

2、A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图：⊙O的切线PA，PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.[对应学生用书P32]相交弦定理[例1]　如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O9于C、D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]　由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO

3、中再使用射影定理即可．[证明]　连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为(　　)A．4　　　　

4、　　　　　B．5C．8D．10解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.答案：B2.如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交⊙O于Q、R.求证：PM·MQ＝PN·NR.9⇒PM·MQ＝PN·NR.割线定理、切割线定理[例2]　如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.证明：(1)AD·AE＝AC2；(2)FG∥AC.

5、[思路点拨]　(1)利用切割线定理；(2)证△ADC∽△ACE.[证明]　(1)∵AB是⊙O的一条切线，ADE是⊙O的割线，∴由切割线定理得AD·AE＝AB2.又AC＝AB，∴AD·AE＝AC2.(2)由(1)得＝，又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE.∴∠ADC＝∠ACE.又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE.∴FG∥AC.(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．(2

6、)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．3．如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.解析：∵PD∶DB＝9∶16，不妨设PD＝9a，DB＝16a(a>0)，∴PB＝25a.9由切割线定理知PA2＝PD·PB，即9＝9a×25a，∴a＝.∴PD＝.在直角三角形PAB中，PA＝3，PB＝5，可知AB＝4.答案：　44.如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙

7、O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求：(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.解：(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)，解得x＝，∴BC＝3x＝3.(2)在Rt△ABC中，AC＝＝，由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，由(1)可知，CN＝，BC＝3，CM＝BC－BM＝3－＝2，AC＝，∴CD＝＝，∴r＝(AC－CD)＝＝.切线长定理[例3]　如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与过A、B两点

8、的切线分别交于点E、F，AF与BE交于点P.求证：∠EPC＝∠EBF.[思路点拨]　→→→→[证明]　∵EA，EF，FB是⊙O的切线，9∴EA＝EC，FC＝FB.∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径，∴EA⊥AB，FB⊥AB.∴EA∥FB.∴＝.∴＝.∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．5．两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线