最小二乘法在误差分析中的应用

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1、误差理论综述与最小二乘法讨论摘要：本文对误差理论和有关数据处理的方法进行综述。并且针对最小二乘法（LS）的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究和总结。同时，将近年发展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进行了对比。1.误差的有关概念对科学而言，各种物理量都需要经过测量才能得出结果。许多物理量的发现，物理常数的确定，都是通过精密测量得到的。任何测试结果，都含有误差，因此，必须研究，估计和判断测量结果是否可靠，给出正确评定。对测量结果的分析、研究、判断，必须采用误差理论，它是我们客观分析的有力工具1.1测量基本概念一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成。按实验数

2、据处理的方式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。组合测量:如有若干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进行测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。1.2误差基本概念误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。若某物理量的测量值为y，真值为Y，则测量误差dy=y-Y。虽然真值是客观存在的，但实际应用时它一般无从得知。按照误差的性质，可分为随机误差，系统误差和粗大误差三类。随机误

3、差:是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。系统误差:是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。粗大误差:指超出在规定条件下预期的误差。1.3等精度测量的随机误差当对同一量值进行多次等精度的重复测量，得到一系列的测量值，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有特定的规律，但就误差的总体而言，却有统计规律。1.3.1正态分布通过对大量的测量数据的观察，人们发现测量列的随机误差有以下几个特征：（1）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，即误差的对称性；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即误差的单峰性；（3）在一

4、定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，即误差的有界性；（4）随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零，即误差的抵偿性。正态分布曲线如下图1-1所示。正态分布时区间(μ-σ，μ+σ)的面积占总面积的68.27%;(μ-1.96σ，μ+1.96σ)的面积占总面积的95%;区间(μ-2.58σ，μ+2.58σ)的面积占总面积的99%。图1-1.正态分布曲线1.3.2t分布t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n<30。t分布适用于当总体标准差σ未知时用实验标准差s代替总体标准差σ，由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。关于t分布的早期理论

5、工作，是英国统计学家威廉·西利·戈塞特(wiliamsealyGosset)在1900年进行的。1.4系统误差系统误差是由固定不变的或按某种规律变化的因素造成的，这些误差因素可能是由于：（1）测量装置的原因：仪器设计上的缺欠，仪器零件制造和安装的不正确，仪器附件的制造偏差。（2）测量环境的原因：测量过程中温度、湿度等按一定的规律变化。（3）测量方法的原因：采用近似的测量方法或近似的计算公式引起的误差。（4）测量人员的原因：由于测量人的个人特点导致的测量误差。系统误差具有确定的规律性，这与随机误差有根本区别。对于测量中存在的较为显著的系统误差，可以通过一些检验方法和手段发现。如

6、：1.通过实验对比检验系统误差；2.通过理论分析判断系统误差；3.对测量数据进行直接判断；4.用统计方法进行检验。1.5粗大误差测量数据中包含随机误差和系统误差是正常的，只要测量误差在一定的范围内，测量结果就是正确的。但当测量者在测量时由于疏忽造成错误读取示值，错误纪录测量值，错误操作以及使用有缺欠的计量器具时，会出现粗大误差，此数据的误差分量明显偏大，即明显歪曲测量结果。对于粗大误差，有以下几种判别方法：（1）莱依特准则(3σ准则)：若对某一物理量等精度重复测量n次，得测量值，如果某测得值的残差大于3倍的标准差，即

7、v

8、>3σ，该数据为异常数据，应剔除。莱依特准则的合理性是

9、显然的，对服从正态分布的随机误差，其残差落在（-3σ，3σ）以外的概率仅为0.27%，当在有限次测量中发生的可能性很小，认为是不可能发生的。（2）肖维勒准则：若对某一物理量等精度重复测量n次，得测量值，若认为为可疑数据，若此数据的残差

10、v

11、>Zσ，则此数据为异常数，应剔除。实用中Z<3，这在一定程度上弥补了3σ准则的不足。Z是与测量次数n有关的系数。其关系见表1-2。n34567891011Z1.381.531.641.731.801.861.921.962.00n121314151617181920Z