2.2.3 向量数乘运算及其几何意义作业 word版含解析高中数学人教a版必修4

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1、[A.基础达标]1．下列说法正确的是(　　)A．平行于同一向量的两个向量是共线向量B．单位向量都相等C．a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λbD．与非零向量a相等的向量有无数个解析：选D.若两个向量都与零向量平行，它们可能不共线，所以选项A不正确；单位向量只是长度相等，方向不确定，故选项B不正确；“a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb”需在b≠0的前提下才成立，故选项C不正确；平移非零向量a，所得向量都与a相等，故与非零向量a相等的向量有无数个．故选D.2．已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若

2、a，b共线，则λ等于(　　)A．－9　　　B．－4C．4D．9解析：选B.由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.由于e1，e2不共线，所以∴λ＝－4.故选B.3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　)A.＝2B.＝C.＝3D．2＝解析：选B.∵D为BC的中点，∴＋＝2，∴2＋2＝0，∴＝－，∴＝.4．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且

3、

4、＝

5、

6、，则四边形ABCD是(　　)A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形解析：选

7、C.由∥且

8、

9、≠

10、

11、知，四边形ABCD是梯形．又

12、

13、＝

14、

15、，知梯形ABCD是等腰梯形．5．已知向量a与b不共线，且＝λa＋b(λ∈R)，＝a＋μb(μ∈R)，则点A，B，C三点共线应满足(　　)A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：选D.若A，B，C三点共线，则＝k(k∈R)，即λa＋b＝k(a＋μb)，∴λa＋b＝ka＋μkb，∴消去k得，λμ＝1，故选D.6．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则(a－b)－3(a＋b)＋(2b－a)＝________.解析：(a－b)－3(a＋b)＋(2b－a)＝a－b－3a－

16、2b＋2b－a＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋j－5i－4j＝－16i＋j.答案：－16i＋j7．若

17、a

18、＝5，b与a的方向相反，且

19、b

20、＝7，则a＝________b.解析：因为

21、a

22、＝5，

23、b

24、＝7，所以＝，又方向相反，所以a＝－b.答案：－8．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.解析：∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k＜0)．答案：－49．已知两个非零向量e1和

25、e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．证明：∵＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，∴＝＋＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝10e1＋15e2.又∵＝2e1＋3e2，∴＝5，∴，共线，且有公共点B.∴A，B，D三点共线．10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A，B，M三点共线．(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．解：(1)证明：因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ＋－λ，－＝λ－λ，即＝λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0

26、且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则，同向且

27、

28、＞

29、

30、(如图所示)．所以λ＞1.[B.能力提升]1．化简的结果是(　　)A．2a－b　B．2b－aC．b－aD．a－b解析：选B.原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.2.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝解析：选A.由题意可知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝，故选A.3．点C在线段AB上，且＝，则＝________

31、.解析：如图，因为＝，且点C在线段AB上，则与同向，且

32、

33、＝

34、

35、，故＝.答案：4.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________.解析：直接利用共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.答案：－25．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值；(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线？若存在，求出k的值，否则说明理由．解：(1

36、)由a＝λb，得2e1－e2＝λke1＋λe2，而e1与e2不共线，所以⇒k＝－2.(2)不存在．若e1与e2共线，则e2＝λe1，有因为e1，e2，a，b为非零向量，所以λ≠2