椭圆竞赛讲座资料

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1、一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即

2、PF1

3、+

4、PF2

5、=2a(2a>

6、F1F2

7、=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)，参数方程为（为参数）。若焦点在y轴上，列标准方程为(a>b>0)

8、。3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±c,0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0b>0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。若P(x,y)是椭圆上的任意一点，则

9、PF1

10、=a+ex,

11、PF2

12、=a-

13、ex.5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为；2）斜率为k的切线方程为；3）过焦点F2(c,0)倾斜角为θ的弦的长为。二、方法与例题1．与定义有关的问题。例1已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3

14、PA

15、+5

16、PF

17、取最小值时，求点P的坐标。[解]见图11-1，由题设a=5,b=4,c==3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知，则

18、PF

19、=

20、PQ

21、。所以3

22、PA

23、+5

24、PF

25、=3

26、(

27、PA

28、+

29、PF

30、)=3(

31、PA

32、+

33、PQ

34、)≥3

35、AM

36、(AM左准线于M)。所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3

37、PA

38、+5

39、PF

40、取最小值，把y=1代入椭圆方程得，又x<0，所以点P坐标为2．求轨迹问题。例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。[解法一]利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：=1（a>b>0）.F坐标为(-c,0).设另一焦点为。连结，OP，则。所以

41、FP

42、+

43、PO

44、=(

45、FA

46、+

47、A

48、)=a.所以点P的轨迹是以

49、F，O为两焦点的椭圆（因为a>

50、FO

51、=c），将此椭圆按向量m=(,0)平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为[解法二]相关点法。设点P(x,y),A(x1,y1)，则，即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为。它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆。例8椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：为定值。[证明]设

52、OA

53、=r1,

54、OB

55、=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，则点A，B的坐标分别为A(r1cosθ,r1sinθ),B(-r2sinθ,

56、r2cosθ)。由A，B在椭圆上有即①②①+②得（定值）。4．最值问题。例9设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求

57、AB

58、的最大值与最小值。[解]由题设a=1，b=,记

59、OA

60、=r1,

61、OB

62、=r2,，参考例8可得=4。设m=

63、AB

64、2=,因为，且a2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函数f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即

65、OA

66、=

67、OB

68、时，

69、AB

70、取最小值1；当或时，

71、AB

72、取最大值。例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率

73、为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。[解]设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为，半径

74、CA

75、=1，因为

76、AB

77、≤

78、BC

79、+

80、CA

81、=

82、BC

83、+1，所以当且仅当A，B，C共线，且

84、BC

85、取最大值时，

86、AB

87、取最大值，所以

88、BC

89、最大值为因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,,t，椭圆方程为，并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ)，则

90、BC

91、2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.若，则当

92、sinθ=-1时，

93、BC

94、2取最大值t2+3t+，与题设不符。若t>,则当sinθ=时，

95、BC

96、2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.所以椭圆方程为。三、基础训练题3．椭圆上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.5．椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________.四、高考水平测试题4．椭圆的