高三第一轮复习数学---直线与平面垂直

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1、人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露高三第一轮复习数学---直线与平面垂直一、教学目标：1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。二、教学重点：掌握直线与平面垂直的判定与性质，正确理解点到平面的距离，会利用上述知识论证和解决有关问题。掌握三垂线定理。三、教学过程：（一）主要知识：一、(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。(2)直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判

2、定定理:.②b⊥α,a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）　③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性质定理）(3)直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（a⊥α，b⊥α⇒a∥b）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线()(4)点到平面的距离的定义:从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线逆

3、定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。注意：①两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立。三垂线定理及其逆定理共涉及“四线一面”。其中平面的垂线、平面的斜线及射影这三条直线都是平面内的一条直线的垂线。②利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”、“平面的斜线”、“斜线的射影”。③从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直证明异面直线垂直，逆定理相反。④主要应用：可证两异面直线垂直；确定点到直线的垂线等；可确定二面角的平面角。　线线垂直线面垂直线

4、线垂直特别注意:点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。（二）例题分析：例1：（1）设a，b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（）（A）有且仅有一条直线与a，b都垂直；第5页共5页人教版高三第一轮复习数学教案孟繁露（A）有一个平面与a，b都垂直；（B）过直线a有且仅有一个平面与b平行；（C）过空间中任一点必可作一条直线与a，b都相交。（2）已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：（A）若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；（B）若l平行

5、于α，则l平行于α内的所有直线；（C）四面体中最多可以有四个面是直角三角形。（D）若mα且l⊥β，且α∥β则ml其中正确命题的是。（3）α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外两条不同的直线，给出四个论断：（A）m∥n（B）m∥β（C）α⊥β（D）n⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。　答案：（1）C（2）ACD（3）ABDC或ACDB例2：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD。证明：连接MO。∵DB⊥AA1，DB⊥AC，AA

6、1∩AC=A，∴DB⊥平面AA1C1C。又A1O平面AA1C1C，∴A1O⊥DB。在矩形AA1C1C中，，∴=，则=，∴A1O⊥OM，∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD思维点拨：线线垂直线面垂直。利用勾股定理和三垂线定理证明两直线垂直是常用方法。例3：如图，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直SC的平面分别交SB、SC、　SD于E、F、G，求证：AE⊥SB，AG⊥SD。证明：∵平面AEFG⊥SC，∴SC⊥AE，又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC。又AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，AE平面SAB，∴BC⊥AE。又AE⊥

7、SC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB。同理可证AG⊥SD。思维点拨：此题意在使学生通过此题掌握证不共面的线线垂直的方法，一般是先证线面垂直，即证其中一线垂直于过另一线的平面，合理选择平面是解题的关键。例4：如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1与AB的中点。（1）求A1B1与截面A1ECF所成的角；（2）求点B到截面A1ECF的距离。解：（1）由于ΔA1D1EΔA1AF，∴∠D1A1E=∠AA1F，∴∠EA1B1=∠B1A1F，因此点B1在平面A1ECF上的射影应在∠EA1F的平分线上，又四边形A1E

8、CF为菱形，因此，点B1在平面A1ECF上的射影应在直线A1C上，∴∠B1A1C即为A1B1与截面A1ECF所成的角。又，∴。（2）取A1B1中点G，连接BG，则BG∥A1F，∴BG∥截面A1