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1、2009年高考数学试题分类汇编——函数1.（陕西卷）已知函数，其中若在x=1处取得极值，求的值；求的单调区间；（Ⅲ）若的最小值为1，求的取值范围．解：（Ⅰ）∵在x=1处取得极值，∴解得（Ⅱ）∵∴①当时，在区间∴的单调增区间为②当时，由∴（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是-34-2．（天津卷）已知函数其中。（Ⅰ）当时，求曲线处的切线的斜率；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。解：（Ⅰ）所以曲线在点处的切线的斜率为（Ⅱ）令以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗所以在内是增函数
2、，在内是减函数。函数在处取得极大值函数在处取得极小值（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：-34-+0—0+↗极大值↘极小值↗所以在内是增函数，在内是减函数。函数在处取得极大值函数在处取得极小值3.(2009年广东卷)（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数。(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值；(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.解：（1）依题可设()，则；又的图像与直线平行，，设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值-34-当时，解得当时，解得（2）由()，得当时，方程有一解，函数有一零
3、点；当时，方程有二解，若，，函数有两个零点，即；若，，函数有两个零点，即；当时，方程有一解,,函数有一零点综上，当时,函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.这个问题的结论宜改为：①当或时，函数存在零点；②当时,函数的零点为；当()且，或（）且时，函数的零点为．-34-4．（江苏卷）设为实数，函数.(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.5．（江西卷）设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，求不等式的解集．【解析】（1）若，则（2）当时， 当时， 综上-34-(3)时，得，当时，；当时，得1）时，2）
4、时，3）时，5．（江西卷）设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，求不等式的解集．解：(1),由,得因为当时,；当时,；当时,；所以的单调增区间是:；单调减区间是:.(2)由,得：.故：当时,解集是：；当时，解集是：；当时,解集是：6．(全国卷Ⅱ)设函数有两个极值点，且．-34-（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：解:（I）令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴当时，在内为增函数；⑵当时，在内为减函数；⑶当时，在内为增函数； （II）由（I），设，则⑴当时，在单调递增；⑵当时，，在单调递减。，故．7.（湖南卷）已知函数的导函数的图象关于直
5、线x=2对称.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若在处取得极小值，记此极小值为，求的定义域和值域。解:（Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.-34-（ⅰ）当c12时，，此时无极值。（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.当x＜时，，在区间内为增函数；21世纪教育网当＜x＜时，，在区间内为减函数;当时，，在区间内为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值.因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.于是的定义域为.由得.于是.当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为21世纪教育网8.（北京理）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调
6、区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得，-34- 若，则当时，，函数单调递减 当时，，函数单调递增， 若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增， 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.9.(山东卷理)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与
7、城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.ABCx（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃
