2019版一轮优化探究理数第六章 第三节　等比数列及其前n项和练习

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1、苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习一、填空题1．设等比数列{an}的公比q＝3，前n项和为Sn，则＝________.解析：S4＝＝40a1，a2＝3a1.∴＝.答案：2．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于________．解析：由已知可设公比为q，则(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，∴(2q＋1)2＝3(2q2＋1)．∴2q2－4q＋2＝0.∴q＝1，∴an＝2.∴Sn＝2n.答案：2n3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.解析：由等比数列的性

2、质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.答案：4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为________．6苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习解析：由题意易知q≠1，则＝，解得q＝2，数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝.答案：5．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是________．解析：设公比为q，则q3＝＝，∴q

3、＝，a1＝4，故数列{an·an＋1}是首项为8，公比为的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝[1－()n]，∵≤1－()n<1，∴8≤[1－()n]<.答案：[8，)6．在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此数列的公比q为________．解析：由已知a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，两式相减得a6－a5＝2a5，即a6＝3a5，所以q＝3.答案：37．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.解析：∵S99＝30

4、，6苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习即a1(299－1)＝30.a3＋a6＋a9＋…＋a99＝＝a1(299－1)＝×30＝.答案：8．数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a10＝________.解析：由已知得an＋1＝2an，故数列{an}是公比为2的等比数列，所以a10＝a3×27＝10×128＝1280.答案：12809．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，若对一切正整数n都有Sn>Tn，则数列{an}的公比q的取值范围是________．解析：由于{an

5、}是等比数列，公比为q，所以bn＝＝an，于是b1＋b2＋…＋bn＝(a1＋a2＋…＋an)，即Tn＝·Sn，又Sn>Tn，且Tn>0，所以q2＝>1.因为an>0对任意n∈N*都成立，所以q>0，因此公式q的取值范围是q>1.答案：q>1二、解答题10．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得.∴a1＝0，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)设等比数列{

6、bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.6苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.∴{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.11．已知数列{an}和{bn}满足a1＝k，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中k为实数，n∈N*.(1)证明数列{an}不是等比数列；(2)若数列{bn}是等比数列，求k的取值范围．解析：(1)证明：假设存在实数k使{an}是等比数列，则a＝a1·a3，即(k－3)2＝k(k－4)，即k2－4k＋9＝k2－4k，∴

7、9＝0显然矛盾，故假设不成立．∴{an}不是等比数列．(2)∵bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1(an－2n＋14)＝(－)·(－1)n(an－3n＋21)＝－bn.又∵b1＝－(k＋18)，∴只需k≠－18，则b1≠0，由上可知＝－(n∈N*)．故若{bn}是等比数列，则只需要k≠－18，∴k的取值范围为(－∞，－18)∪(－18，＋∞)．12．已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….(1)求证数列{lg(1＋an)}是等比数列；(2)设Tn＝(1＋a1

8、)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项；(3)记bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Sn，并说明Sn＋＝1.6苏教版20