有关相似三角形中的中考题选析

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1、http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网有关相似三角形中的中考题选析吕永淼相似三角形即形状相同、大小不同的两个三角形，它可用如下方法识别。若两个三角形中有：（1）两个角对应相等；（2）两对应边成比例且夹角相等；（3）三边对应成比例，那么这两个三角形就相似。它具有如下性质：（1）对应边成比例；（2）对应角相等；（3）对应线段（高、中线、角平分线）成比例；（4）周长之比等于相似比；（5）面积之比等于相似比平方。巧用以上识别和性质，乃可妙解中考题，笔者选析2004年部分省市中考题，

2、供读者参考。例1.已知等腰△ABC中，顶角∠A为36°，BD平分∠ABC，那么AD：AC的值是（）A.B.C.1D.思考：据题意，易知△ABC∽△BDChttp://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网设AD为x，则故即于是（即黄金分割比）故选B。例2.如图2，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若，则的值是（）A.B.C.D.2思考：据题意易知△ADE∽△ECB由面积比性质利用补形法，延长AD、BC相交于F，则有四边形DFCE为平行四边形http://www.

3、ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网∵DE∥FB故选C。例3.如图3，矩形ABCD中，，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a、b间的关系一定满足（）A.B.C.D.思考：据题意，只要满足△ABP∽△PCD即可。设，则即，要使方程有实数根，必须△≥0即故选D。启迪：以上三例，关键是根据图形特征，构造方程解决。例4.如图4，△ABC、△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明。http://www.ehappys

4、tudy.com快乐学习，尽在中小学教育网思考：据题意，图中与△DBE相似的有△GAD、△ECH、△GFH，仅对△DBE与△ECH证之∵∠B＝∠C＝60°，∠BDE＋∠BED＝120°易知∠BED＋∠HEC＝120°∴∠BDE＝∠HEC故△DBE∽△ECH例5.在△ABC中，AD、CE是两条高，连结DE。若，如图5，在不添加辅助线和字母情况下，写出三个正确结论（要求分别为边的关系、角的关系、三角形相似关系等），并对其中一个结论给予证明。思考：据题意，可添结论颇多，如：AB＝AC，∠BED＝∠BCA△CBE∽△AB

5、D，AD是△ABC的对称轴DC＝DB，△ABD≌△ACD等等，现对BA·BE＝BC·BD予以证明：易证∠DEB＝∠ACB，∠B公用∴△BDE∽△BAC，可得（略）http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网启迪：例4、例5是结论开放题，需认真审题、善于联想、富于想象、合情猜测、严格推理，有助于思维品质的优化，是中考的热点。例6.如图6，△ABC中，点D在AC上，CD＝2AD，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE⊥BD于E，连结AE。（1）写出图中所有相等的线段，并证明；（2）

6、图中是否存在相似三角形？若有，请写出一对，若没有，请说明理由；（3）求出△BEC与△BEA的面积之比。思考：（1）认真观察图形，相等线段有：DE＝DA，EC＝EA＝EB证明：∵∠DEC＝90°，∠BDC＝60°∴∠DCE＝30°故从而∠DEA＝∠DAE＝30°∴∠EAB＝15°故∠EBA＝15°∴EB＝EA易知EA＝EC，故EC＝EB＝EA（2）图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB（3）过A作AF⊥BD交其延长线于F则∠AFD＝∠CED＝90°又∠ADF＝∠CDE，故△CDE∽△AFDhttp:

7、//www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网启迪：本题（1）是结论开放；（2）是存在性开放。关键认真审题，准备画图，抓住图形特征分析，探索数学对象的存在与否，颇有创意，是中考的热门考点。例7.如图7，△ABC、△DCE、△FEG是全等的三个等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且，BC＝1，连结BF交AC、DC、DE分别为P、Q、R。（1）试证△BFG∽△FEG，并求出BF的长；（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并给予解答。思考：（1）据题意知，∠G公用∴△BFG∽△F

8、EG∴FE＝FG∵BF＝BG＝3（2）可提出的问题很多，由易到难可分如下三个层次：（A）层次。如：求证∠PCB＝∠REC，或PC∥RE，……；（B）层次。如：求证∠BPC＝∠BFG，或BP＝PR，或△ABP∽△CQP，……，http://www.ehappystudy.com快乐学习，尽在中小学教育网或求的值；（C）层次。如：求证△ABP≌△ERF或PQ＝QR，或△BPC