数学运算之排列组合问题

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1、一、排列组合问题（一）基本概念（1）加法原理：分类的用加法    乘法原理：分步的用乘法排列：与顺序有关组合：与顺序无关（2）主要解题技巧：逆向考虑法，特殊位置先排，隔板法，插空法，分类法，捆绑法等。因为这部分内容比较多，所以抽屉原理另外在下一个专题里单独讲。（二）习题与解析：1、用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？解析：这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题，由排列数公式，共可组成：P85=8*7*6*5*4=67202、由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数

2、字的偶数？解析：分类法注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类，所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决.第一类：一位偶数只有0、2，共2个；第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位可有C13种取法；若个位取2，则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13＋C12）种不同的取法；第三类：三位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位和百位共有P23种取法；若个位取2，则十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2种取法，十位也有2种取法

3、，由乘法原理，个位为2的三位偶数有2×2个，三位偶数共有（P23＋2×2）个；第四类：四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则共有P33个；若个位取2，则其他3位只能在0、1、3中取.千位有2种取法，百位和十位在剩下的两个数中取，再排成一列，有P22种取法.由乘法原理，个位为2的四位偶数有2×P22个.所以，四位偶数共有（P33＋2×P22）种不同的取法.由加法原理知，共可以组成2＋（C13＋C12）＋（P23＋2×2）＋（P33＋2×P22）＝2＋5＋10＋10＝27个不同的偶数.3、从

4、5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？解析：分类法。首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解：符合要求的选法可分三类：设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5

5、×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种.运用加法和乘法原理时要注意：①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件

6、工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不

7、同的方法来说是一样的.4、一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.解析：画图 由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.5、参加会议的人两辆都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有多少人？（）A、9            B、10             C、11           D、12解析：两人握手与顺序无关，（甲与乙握手和乙与甲握手是一样的），假设共有N个人，两两彼此握手可以握C2N次，有C2N=N(N-1)/2*1=36.

8、解得N=9，选A6、五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？（）A、6            B、10              C、12           D、20解析：第一步：从五个瓶子中选出三个瓶子   共有C35=10种方法第二步：对这三个瓶子进行错位排列，共有D3=2种方法第三步：根据乘法原理，所有可能的方法数为10*2*1=20种PS：有关错位排列问题。请看下一题。将有比较详细的解释。7、甲乙丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第