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1、《概率论与数理统计》第二章复习题解答1.将4只球（1-4号）随机放入4只盒子（1-4号）中去，一只盒子只放一球.如一只球装入了与之同号的盒子,称形成了一个配对.记为总的配对数,求的分布律.解：；——因为当3个球形成配对时，另1个球一定也形成配对；——当4个球中的某2个形成配对时，另2个球（标号a,b）都不形成配对的放法只1种，即分别放入标号b,a的盒中；——当4个球中的某1个形成配对时，另3个球都不形成配对的放法只2种：以abc记3个空盒的号码排列，则3个球只能以bca或cab的次序对应放入3个盒中；.于是，分布律为X01234pk9/241/31/401/242.盒中装有1
2、0个大小相等的球,编号为0-9.从中任取一个,在号码“小于5”、“等于5”、“大于5”三种情况下，分别记随机变量求的分布律、分布函数、分析服从什么分布.解：（1）10个球中号码“小于5”、“等于5”、“大于5”分别有5、1、4个，于是的分布律为X012pk0.50.10.4（2）的分布函数为；（3）分布律为Y01pk0.10.9第5页共5页即服从参数为0.9的0-1分布.3.设随机变量的分布密度为.求（1）的值;（2）;（3）的分布函数;（4）的分布密度.解：（1）,，；（2）；（3）；（4）求导得.4.根据历史资料分析,某地连续两次强地震间隔的年数的分布函数为，现在该地刚发
3、生了一次强地震，求（1）今后3年内再发生强地震的概率；（2）今后3-5年内再发生强地震的概率；（3）的分布密度，指出服从什么分布.解：（1）；（2）.（3）的分布密度，故服从参数为10的指数分布.第5页共5页5.（1）设,,且,求.（2）设,且,求.（3）设，试分析当时，概率的值将如何变化.解：（1），，故，.从而,.（2）,且,即,亦即,又,.从而,,于是.（3），故.故当时，概率的值保持不变,始终是常数0.6826.6.设某城市男子的身高(单位:cm).（1）应如何设计公共汽车的车门高度,才能使该地男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门高度为182cm,求100个
4、男子中会与车门碰头的人数至多是1的概率.解：（1）设公共汽车的车门高度应为cm.则要使,只须,从而只要,于是即可.（2）若车门高度为182cm,则1个男子会与车门碰头的概率为设100个男子中会与车门碰头的人数为,于是,从而.7.设带有3颗炸弹的轰炸机向敌人的铁路投弹,若炸弹落在铁路两旁40米以内,即可破坏铁路交通.记弹落点与铁路的距离为(单位:米),落在铁路一侧时的值为正,落在另一侧时为负.的概率密度为第5页共5页若3颗炸弹全部使用,求敌人铁路交通受到破坏的概率.解：1颗炸弹落在铁路两旁40米以内的概率为设3颗炸弹中落在铁路两旁40米以内的颗数为,则，从而至少1颗炸弹落在铁路
5、两旁40米以内（可破坏铁路交通）的概率为8.设,证明:当时,仍服从均匀分布.证明：，，而求导得.又因为，故.即当时,在上服从均匀分布.证毕.9.（1）设的分布密度,用分布函数法求的分布密度；（2）设,用公式法求的分布密度.解：（1）,求导得注意到当且仅当时取非零表达式，故（2），，而当时第5页共5页单调可导；反函数为，；，由定理知10.试证明：若,则,其中是非负整数.（即几何分布具有“无记忆性”)证明：，，由上一步结果知，故对任意非负整数成立.即几何分布与指数分布一样，具有“无记忆性”.证毕.第5页共5页
