义务教育2018-版高中数学（人教a版）必修2同步教师用书：第4章章末综合测评4

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1、章末分层突破[自我校对]①(x－a)2＋(y－b)2＝r2②x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)③

2、O1O2

3、＞r1＋r2④

4、O1O2

5、＝r1＋r2⑤

6、r1－r2

7、＜

8、O1O2

9、＜r1＋r2　(教师用书独具)求圆的方程求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．过两个已知圆x2

10、＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．　求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程.【精彩点拨】　解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解．【规范解答】　法一：设所求圆为x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0，化为一般式，得x2＋y2－x＋y－＝0.故圆

11、心坐标为，代入直线3x＋4y－1＝0，得λ＝－.再把λ代入所设方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0.法二：解方程组得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1)．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵A，B在圆上，且圆心在直线3x＋4y－1＝0上，∴解得∴所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0.[再练一题]1．圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．【解】　设所求圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y

12、0)2＝r2(r＞0)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0－y0＝0或x0＋y0＝0.又圆心在直线5x－3y＝8上，所以5x0－3y0＝8.由得由得所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r＝4或r＝1，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的

13、关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．　已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且

14、AB

15、＝2，求直线l的方程．【精彩点拨】　分斜率存在与不存在两种情况：(1)⇒⇒⇒⇒(2)⇒【规范解答】　(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.示意图如图，作MC⊥AB于C.在Rt△MBC中，

16、BC

17、＝

18、AB

19、＝，

20、M

21、B

22、＝2，故

23、MC

24、＝＝1，由点到直线的距离公式得＝1，解得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且

25、AB

26、＝2，所以符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.[再练一题]2．已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程．【解】　设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C(a，b)与Q(3，－)的连线垂直于直线x＋y＝0，且斜率为.由题意得解得或∴所求圆的方程为(x

27、－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.轨迹问题1.求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代数法等．2．求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分．　如图41，圆O1与圆O2的半径都是1，

28、O1O2

29、＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得

30、PM

31、＝

32、PN

33、，试建立适当的坐标系，并求

34、动点P的轨迹方程．图41【精彩点拨】　由△PMO1与△PNO2均为直角三角形表示出切线长

35、PM

36、与

37、PN

38、，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式

39、PM

40、＝

41、PN

42、求出P点的轨迹方程．【规范解答】　如图，以O1，O2所在直线为x轴，线段

43、O1O2

44、的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)．在Rt△PMO1中，

45、PM

46、2＝

47、PO1

48、2－1，在Rt△PNO2中，

49、PN

50、2＝

51、PO2

52、2－1.又因为

53、PM

54、＝

55、PN

56、，