量子力学曾谨言习题解答第三章

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1、第三章：一维定态问题[1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明并证明当时上述结果与经典结论一致。[解]写出归一化波函数：（1）先计算坐标平均值：利用公式：（2）得（3）计算均方根值用以知，可计算利用公式（5）（6）在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度。故当时二者相一致。#[2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。[解]（甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下：(x<0区)：（1）（0a区）：（3）但写出在连接点x=0处连续条件（4）（5）x=a处连续条件（

2、6）（7）（4）（5）二式相除得（6）（7）二式相除得从这两式间可消去B，C，得到一个间的关系解出，得（8）最后一式用E表示时，就是能量得量子化条件：（乙法）在0

3、（解）本题是在半区中的一维谐振子，它的薛定谔方程式在ｘ＞０的半区内与普通谐振子的相同，在负半区中。一般谐振子的函数ψ（x）满足薛氏方程式：（1）作自变量变换（）并将波函数变换：得u的微分方程：（2）但（3）设（2）的解是级数：（4）将（4）代入（2）知道，指标s的值是s=1或s=0。此外又得到相同的二个未定系数之间的关系有二种：s=0时，（5）s=1时，（6）为了使波函数ψ（x）满足标准条件，级数（4）必需中断。此外由于本题情形中应满足边界条件（波函数连续性），x=0时ψ（x）=0，即u（0）=0。因而必需取s=1，它的递推式是（6），因此如果级数（4）中断，而（4）的最高幂

4、是n=2m，在（4）式中取s=1，，，则在（6）式中取n为最高幂时：由（3）得(7)式中的m=0,1,2,3,4,……（7）式即我们需求的粒子的能级。本题的波函数是但是归一化常数，是奇阶数厄米多项式。#［4］考虑粒子在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数。（解）本题中设想粒子从左侧入射。　　　　　在（x〈0〉区中有入射反射波（1）在（x>0区）中仅有透射波(2)但考虑在原点0（x=0）处波函数（x）和一阶倒数（x）的连接性，有：即(3)即(4)因按题意要计算反射系数Ｒ，同理(5)　，若求比值，可从（３）（４）消去Ｃ，得到：#［5］试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１

5、。（解）任意的势垒是曲线形的，如果Ｖ（x）没有给定，则（x）不能决定，因而无法计算各种几率流密度。但如果附图所示Ｖ（x）满足二点特性：(1)(2)我们近似地认为当时波函数的解是时波函数的解是但由于粒子几率流的守恒（V（x）是实数函数）：在数量上入射几率流密度应等于反射的和透射的的和，即：(1)仿前题的算法，不必重复就可以写出：(2)这里的（1）（2）是等效的，将（1）遍除得：即得证将（2）式遍除得另一种形式：#［6］设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。（解）（甲法）一维无限深势阱的本征态波函数是（1）题给波函数可用本征函数展开：因此是

6、非本征态，它可以有二种本征态，处在态上的几率是。这时能量是，处在态上的几率是，这时能量是。（乙法）可以运用叠加原理的展开式的系数的决定法来求C，其余同。按一般原理，将已知函数展开成算符的分立本数谱时，有在本题中，有按罗比达法则最后一式只有有贡献相当于m=1，或3。，其余与甲法同。#［7］设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系：（解）由对称性知道，同理也由对称性知道对谐振子而言，应先写出归一化波函数：但（1）于是（2）为了计算这个积分，利用厄米多项式不同阶间的递推式：（3）此式作为已知的，不证。将前式遍乘ξ，重复用公式（4）将此式代入（2）此式最后一式第一项。第三项都和的正

7、交化积分式成比例，都等于零。第二项和归一化积分成比例；可以简化再计算，这可以利用波函数满足的微分方程式：（是振子质量）将此遍乘对积分测不准关系中的不准度是：测不准关系中的不准度是：=因m=0,而#[8]设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数描述，是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。(解)在物理意义上，这是一种能量的非本征态，就是说体系在这种态上时，它的能量是不确定的，薛定谔方程是能量的本征方程，波函数不会满足薛氏方程式。但我们知道势阱中的粒子满足边界条件的解是：（n=1,