第18讲 垂径定理及其推论

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1、第18讲垂径定理及其推论一、学习目标1．通过观察、思考、归纳和概括形成圆的概念.2．结合图形认识和理解弦、直径、半圆、弧、优弧、劣弧、等圆和等弧等概念.3.通过折叠操作得出垂径定理及其推论，通过推理的方式说明结论的正确性，会运用垂径定理或逆定理解决实际问题.考情分析垂径定理及其推论是中考必考知识，常常与直角三角形、等腰三角形等一起考查.与圆有关的计算中，经常利用“垂直于弦的直径平分这条弦”添加辅助线（半径或弦心距），构造直角三角形，运用勾股定理计算有关线段长度.二、基础知识·轻松学1.圆的基本概念（1）圆的定义：在一个平面内，一条线段绕它

2、固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径.【精讲】①圆是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合，即同一个圆上所有的点到定点的距离等于定长，反过来，到定点的距离等于定长的所有的点都在同一个圆上；②圆是一条封闭的曲线（圆周），而不是圆面.（2）相关概念连结圆上任意两点的线段叫做弦.过圆心的弦叫做直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧.【精讲】①直径是圆中最长的弦；直径是弦，但弦不一定是

3、直径；②半圆是一种特殊的弧，但弧不一定是半圆.（3）关于等圆、等弧能够重合的两个圆叫做等圆.能重合的两条弧叫做等弧.【精讲】①等圆是两个半径相等的圆；②等弧存在于同圆或等圆；③长度相等的弧不一定是等弧（等弧的半径相等、过弧的两端的半径所夹的角也相等）.2.圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.3.垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.【精讲】垂径定理和推论可以理解为一条直线涉及五个特征：垂直于弦、经过圆心、平分弦、平分

4、弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，只要具备这五个中的任意两个条件，就可得出其余三个结论.三、重难疑点·轻松破1.运用垂径定理及推论进行有关的判断运用垂径定理可以得出直径所分弦所成的两条相等的线段，两组相等的弧；运用垂径定理的推论可知经过圆心、平分非直径弦的直线与这条弦的位置关系垂直，两组相等的弧；根据圆的轴对称性可知，弧的中点与弦的中点所在直线一定经过圆心，所以这条直线也是弧、弦所构成的弓形的对称轴，进行有关判断时，注意将垂径定理、推论和圆的轴对称性综合运用.例1如图18-1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有

5、①CE＝DE；②BE＝OE；③＝；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC＝AD。（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：A解析：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，根据垂径定理可得①CE＝DE，③＝；从而可知AB垂直平分弦CD，根据线段的垂直平分线定理可知⑤AC＝AD；所以△ACD是等腰三角形，由三线合一的性质即可判定④∠CAB＝∠DAB；根据所给条件无法判断②BE＝OE的正确性，①③④⑤四个结论正确.点评：本题考查垂径定理，解决本题关键是利用垂径定理，证明两线段相等、两条弧相等，在此基础上利用线段的垂直平分线性质定理证明两条线段的等量关系，继

6、而构造了等腰三角形，运用三线合一的性质说明两角的数量关系．图18-1图18-2变式1如图18-2，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中正确的个数是（）①AB⊥CD，②∠APD=∠BPD，③，④，A．4个B．3个C．2个D．1个2.根据垂径定理构造直角三角形进行有关计算过圆心作弦的垂线，这时圆心到弦之间的垂线段、弦、过弦的端点的半径构成了直角三角形，在进行弦长、半径的有关计算时，往往应用垂径定理和勾股定理来解决.如图18-3，在a、r、d、h四个量中，存在关系式r=d+h，．利用这两个关系式，知道其中任何两个量，就可

7、以求出其余两个量．图18-3图18-4图18-5例2已知：如图18-4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P，CD＝10cm，AP︰PB＝1︰5．求⊙O的半径．解析：连接OC.∵AP︰PB＝1︰5，∴　设AP＝x，PB＝5x，AB＝AP＋PB＝6x，∵直径AB⊥弦CD，∴PC＝PD＝CD＝5cm，∵OC＋OA＝3x，∴PO＝2x，在Rt△POC中，根据勾股定理，得OC2＝PC2＋OP2．∴（3x）2＝52＋（2x）2．解方程，得x＝±，x＝－不合题意，舍去．∴⊙O的半径为3cm．点评：本题运用了方程思想和构造法，已知弦长和直径被分两段比，作

8、过弦的端点的半径，构造出一个直角三角形，设一条边为未知数，利用勾股定理列方程，使问题顺利解决．变式2如图18-5，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱的半径为13米，则拱