2018版高数学（人教a版）选修1-1同步教师用书：第二章2.3.1抛物线及其标准方程

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1、2.3　抛物线2.3.1　抛物线及其标准方程1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点)2.会求简单的抛物线的方程.(重点)3.了解抛物线的实际应用.(难点)4.能区分抛物线标准方程的四种形式.(易混点)[基础·初探]教材整理　抛物线的定义与标准方程阅读教材P56～P58“思考”部分，完成下列问题.1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程四种不同标准形式的抛物线方程图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦点坐标

2、准线方程x＝－x＝y＝－y＝判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(　　)(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.(　　)(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.(　　)(4)抛物线可看作双曲线的一支.(　　)【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×[小组合作型]求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出它们的准线方程和焦点坐标.(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；(3)焦点到准线的距离为.【精彩点拨】　本题主要考查抛物线标准方

3、程的求法，解题的关键是明确标准方程的类型和参数p的值.【自主解答】　(1)∵点(－3,2)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0).将点(－3,2)代入方程，得2p＝或2p＝.∴当焦点在x轴上时，所求抛物线方程是y2＝－x，其焦点为，准线方程为x＝；当焦点在y轴上时，所求抛物线方程为x2＝y，其焦点为，准线方程为y＝－.(2)令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0，－2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由－＝－2，得2p＝8，∴所求抛物线方程为x2＝－8y.令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为

4、F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则由＝4，得2p＝16，∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.其准线方程为y＝2或x＝－4，焦点坐标为(0，－2)或(4,0).(3)由焦点到准线的距离为，可知p＝.∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).[再练一题]1

5、.根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1;【导学号：97792027】(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.【解】　(1)由准线方程为y＝－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且＝1，则p＝2.故抛物线的标准方程为x2＝4y.(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，准线为x＝－，则焦点到准线的距离是＝p＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y2＝6x.抛物线的实际应用　喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少

6、？【精彩点拨】　根据题意先建立坐标系，设出抛物线方程，把实际问题转化为数学问题.【自主解答】　如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0，即y0＝－，所以OA的长为5－＝1.8(m).所以管柱OA的长为1.8m.在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.[再练一题]

7、2.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m，一木船宽4m，高2m，载货的木船露在水面上的部分为0.75m，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解】　以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系.(如图)设抛物线的方程是x2＝－2py(p＞0)，由题意知A(4，－5)在抛物线上，故16＝－2p×(－5)⇒p＝，则抛物线的方程是x2＝－y(－4≤x≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B′时，木船开