2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.7幂函数

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1、2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.7幂函数一、幂函数定义的应用1、相关链接（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量;③幂系数为1.（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.（3）几个具体函数的定义①正比例函数；②反比例函数；③一次函数；④二次函数；⑤幂函数（）2、例题解析〖例1〗已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数.【方法诠释】利用幂函数必

2、须满足的三个特征，构建关于m的式子求解(1)(2)；利用正比例函数、反比例函数的定义，构建关于m的方程，求解(3)(4).解析：(1)∵f(x)是幂函数，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2)若f(x)是幂函数，且又是(0,+∞)上的增函数，则∴m=-1.(3)若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1,解得此时m2-m-1≠0,故(4)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,则此时m2-m-1≠0,故〖例2〗已知y=(m2+2m-2)·+(2n-3)是幂函数，求m、n的值.思路解析：本题是求实数m、n的值，由于已知幂函

3、数的解析式，因此在解题方法上可从幂函数的定义入手，利用方程思想解决.解答：由题意得：，解得，所以，。二、幂函数的图象与性质（一）幂函数的图象及应用1、相关链接幂函数的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从三方面考查：（1）的正负：>0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；（2）曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时，曲线下凸；（3）=（其中，且互质）。①当为偶数时，为偶函数，其图象关于轴对称；②当都为奇数时，为奇函数，其图象关于原点对称；③当为偶数，为

4、奇数时，为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。(4)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内；(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.注：幂函数的图象无论取何实数，其必经过第一象限，且一定不经过第四象限。2、例题解析〖例1〗已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．定义试求函数h(x)的最大值以及单调区间.【方法诠释】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x)在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值．解析：设幂函数为f

5、(x)=xα，因为点在f(x)的图象上，所以所以α=2，即f(x)=x2；又设g(x)=xβ，点()在g(x)的图象上，所以(－2)β=，所以β=－2，即g(x)=x－2.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示：则有：根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是(－∞，－1)和(0，1)，单调递减区间是(－1，0)和(1，+∞).注：解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.〖例2〗已知函数（1）求的单调区间；（

6、2）比较与的大小（3）解答：（1）方法一：=1+，其图象可由幂函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图：所以该函数在上是减函数，在上是增函数。方法二：=1+，设在定义域内，则（2）∵图象关于直线对称，又∵。（二）幂函数的性质与应用1、相关链接<一>比较幂值大小的类型及方法(1)当幂的底数相同，指数不相同时，可以利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；(3)当幂的底数与指数都不同时，一种方法是作商，比较商值与1的大小关系，确定两个幂值的大小关系；另一种方法是找中介值，即找中间量，通过比较两个幂值与

7、中间量的大小，确定两幂值的大小关系；(4)比较多个幂值的大小，一般也采用中间量法，即先判断每个幂值与0、1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再比较大小，最后确定各数间的大小关系.<二>幂函数y=xα的性质(1)定义域、值域及奇偶性,要视α的具体值而定.(2)当α＞0时，幂函数在(0，+∞)上是增函数，当α＜0时，幂函数在(0，+∞)上是减函数.2、例题解析【例1】(1)试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小.(2)已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x的增大而减小

8、，求满足的a的取值范围.【解题指南】(1)前三个同指数的幂值用幂函数y=x0.2的单调性比较，