高一上教案-2.5-不等式的证明

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1、2.5不等式的证明知识点归纳比较法：要证明，只要证明；要证明，只要证明，这种证明不等式的方法，通常叫做比较法.掌握比较法证明不等式的基本步骤：作差—变形—判断—结论.比较法2：当b>0时，要证明，只要证明；要证明，只要证明，这种证明不等式的方法，通常叫做作商比较法.它的理论依椐是分析法：从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的（充分）条件，把证明结论转化为判定这些（充分）条件是否成立的问题。如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立。这种证明方法叫做分析法。综合法：从已知条件出发，利用各种已知的命题和运算性质作为依据，推导出要求证的结论，这种方法叫综合法。反证法

2、:反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”这种证明的方法，叫做反证法。放缩法：在证明有些不等式时，常利用不等式的传递性，将其中某些项（或因式）换成较大或较小的项（或因式），这种方法叫放缩法.构造法:绝对值不等式:│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│题型讲解例1.求证.证明：∵==≥∴例2.已知，b是正数，且≠b，求证：证明：=∵a，b是正数，所以a+b>0，，又∵a≠b，可知8

3、∴即∴例1.设x>0，y>0，证明不等式：证明：（分析法）欲证只需证明即：即：只需证：∵成立∴例2.已知、b、c为不等正数，且bc＝1。求证：证法1：证法2：∵a、b、c为不等正数，且abc＝18,b,cÎR，⑴、求证：⑵、求证：⑶、若+b=1,求证：证明：⑴、∵∴∴⑵、同理：，三式相加：⑶、由幂平均不等式：∴例1.已知a,bÎR+，求证：。证明：∵a,bÎR+∴∴∴∴∴∴8设0<,b,c<1，求证：(1-)b,(1-b)c,(1-c),不可能同时大于。证明：设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,则三式相乘：ab<(1-a)b•(1-b)c•(1-c)a<①又∵0

4、1∴同理：,以上三式相乘：(1-a)a•(1-b)b•(1-c)c≤与①矛盾∴原式成立例1.若,b,c,dÎR+，求证：证明：记m=∵a,b,c,dÎR+∴∴10，则即b,c是二次方程的两个实根∴a≥2例4.已知0

5、AO

6、+

7、BO

8、+

9、CO

10、+

11、DO

12、≥

13、AC

14、+

15、BD

16、其中，，8，

17、又∴8a,bÎR证明

18、a+b

19、－

20、a－b

21、<2

22、b

23、证明：例1.已知二次函数f(x)满足

24、f(1)

25、£1,

26、f(0)

27、£1,

28、f(─1)

29、£1,求证：

30、x

31、£1时，有

32、f(x)

33、≤。证明：设f(x)=ax2+bx+c,由题意，得∴a=[f(1)+f(─1)─2f(0)],b=[f(1)─f(1)];c=f(0)代入f(x)的表达式变形得：f(x)=f(1)+f(─1)+(1─x2)f(0)∵

34、f(1)

35、£1,

36、f(0)

37、£1,f(─1)

38、£1,∴当

39、x

40、£1时，

41、f(x)

42、£

43、

44、

45、f(1)

46、+

47、

48、

49、f(─1)

50、+(1─x2)

51、f(0)

52、£

53、x

54、+

55、x

56、+(1─x2)=─x2+

57、x

58、+1=─

59、(

60、x

61、─)2+£。巩固练习1.在①，②③，其中正确的个数是（）CA．0B．1C．2D．32.已知a，b，c都是正数，且，求证：证明：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比数列，∴又∵a，b，c都是正数，所以≤∴∴∴81.用分析法证明:3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2证明:要证3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2只需证3［(1+a2)2-a2］≥(1+a+a2)2即证3(1+a2+a)(1+a2-a)≥(1+a+a2)2∵1+a+a2=(a+)2+>0只需证3(1+a2-a)≥1+a+a2展开得2-4a+2a2≥0即2(1-a)2≥0成立故3(1+a2+a4)≥(1+

62、a+a2)2成立2.,b,cÎ,求证：⑴、⑵、⑶、证明：⑴、法一：,,两式相乘即得。法二：左边≥3+2+2+2=9⑵、∵两式相乘即得.⑶、由上题：∴即：8已知、b、c、x均为正数，求证：+≥　　分析：不等式的两边均和解几中两点之间距离公式相似，不妨构造坐标系，应用距离公式来证.　　证明：建立如图所示的坐标系，　　设连AB、BC、AC，则由两点之间距离公式可得：　　　　当A、C、B三点共线时，即时，不等式取等号.此时，1.