付聪4自动扶梯问题

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1、昨天做到一个行程问题，很有意思，关于扶梯的，今天简单研究了一下这一类问题的做法。写出来与大家分享。母题：商场里有自动扶梯，扶梯静止的时候，可见60级台阶。自动扶梯向上运动，扶梯每分钟输出60级台阶。小明每分钟可以走90级台阶。（1）若小明从下往上走，上楼需要花多少时间？小明共走了多少个台阶？、解：从下往上走，小明和扶梯的速度和是150级/分钟。路程和是60级，则时间为60/150=0.4分钟。小明走了0.4*90=36台阶。扶梯卷出0.4*60=24台阶（2）若小明从上往下走（这个很危险，大家可不要模仿

2、哟），下楼需要花多少时间，小明走了多少台阶？解：从上往下走，小明和扶梯的速度和是90-60=30。路程和是60，则时间是60/30=2分钟。小明走了2*90=180台阶。扶梯卷出60*2=120台阶。总结：1、扶梯问题其实本质就是流水行船问题，主要考虑顺着扶梯和逆着扶梯的情况。2、和流水行船问题不同之处在于这里主要考虑台阶，而且我们容易得到的是小明走得台阶数。所以接下来我就研究已知小明走得台阶数，求其他问题。变一：（变数据）商场里有自动扶梯，扶梯静止的时候，可见80级台阶。自动扶梯向上运动，扶梯每分钟输

3、出60级台阶。小明每分钟可以走100级台阶。若小明从下往上走，上楼需要花多少时间？小明共走了多少个台阶？若小明从上往下走（这个很危险，大家可不要模仿哟），下楼需要花多少时间，小明走了多少台阶？变一解答：1、速度和是160，则时间为80/160=0.5.小明走了0.5*100=502、速度和是100-60=40，则时间为80/40=2,小明走了2*100=200变二：商场里有自动扶梯以60级/分钟的速度向上运动。小明从楼上往下走要走200个台阶才能下楼，从楼下往上走则只需要走50个台阶就可以上楼。问，小明

4、的速度和扶梯长度？解：题目中给出了小明走的台阶数，小明速度一定，则路程与时间成正比。我们可以得知从上往下的时间比从下往上的时间为4:1所以。（注意，这里的4和1都只是比例，不是实际时间）可以解出。所以小明从上往下走200个台阶花200/100=2分钟。（这里才解出了实际时间）台阶长度为（100-60）*2=80总结：这是扶梯问题与流水行程问题的主要区别，可以知道小明走得台阶数。关键点：根据小明走得路程可以知道时间比。再根据上下楼的速度和求出小明速度，再求出时间，再确定扶梯长度。变式三：（变数据）商场里有

5、自动扶梯以80级/分钟的速度向上运动。小明从楼上往下走要走250个台阶才能下楼，从楼下往上走则只需要走50个台阶就可以上楼。问，小明的速度和扶梯长度？变式三详解：第一步根据小明上下楼走的台阶数确定时间为5:1第二步：确定实际时间250/120=25/12第三步：实际台阶数（120-80）*25/12=250/3（数据没有变好，应该弄成整数才行，不过没关系，思路是关键）.一次数学竞赛中共有ABC三道题，25名参赛者每人至少答对一道题，在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A

6、的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1，又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半的人没有答对A，请问有多少学生只答对B？设只答对A的人数为A，只答对AB的人数为AB，只答对AC的人数为AC，全部答对的人数为ABC，只答对B的人数为B，只答对C的人数为C。根据四个条件可以列出四个方程1、A+B+C+AB+AC+BC+ABC=252、B+BC=2*（BC+C）3、A=AB+AC+ABC+14、A=B+C发现有7个未知数只有4个方程，但是这里有个条件，人数都只能为正整数。所以我们可以先化简后验证。化简

7、3方程，得AB+AC+ABC=A-1带入1得2A+B+C+BC=26带入A=B+C得3B+3C+BC=26化简2方程得BC=B-2C带入得4B+C=26这里已经用完了所有的条件，剩下只能利用整数验证B=0    C=26  B=1    C=22  B=2    C=18  B=3    C=14B=4    C=10B=5    C=6B=6    C=2分别带入BC=B-2C，验证，只有B=6，C=2符合，所以，只答对B的就应该是6人1998名运动员的号码依次是1-1998的自然数，现在要从中选出若

8、干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积，那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人？尝试后我们可以发现，45*46=2070>1998.44*45=1980<1998所以，只要我们把44及以下的数都取走，剩下数的乘积一定大于1998.其中1可以留下，因为题目上说剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积，1乘上任何数都不变。所以总共至少取走43个数就可以实现剩下的运动员中没有一个人的号码等于另