特点方程法求解递推关联中的数列通项

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5、方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即；，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是-10-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使

6、为常数，即则必须二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例3：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，-10-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家。把以上各式相

7、加，得。。解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。,。又由，于是故三、(分式递推式)定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，-10-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家其中例3、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.解:依定理作特征方程变形得其根为故

8、特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有∴∴即例5．已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)∵对于都有(2)∵-10-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（k