数值计算方法讲义-第一章 预篇

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1、前言由于计算机的普及，科学计算已成为各学科领域的一项重要工作。学习和掌握数值计算方法的基本原理及应用已成为现代科学工作者不可缺少的一个环节。用计算机解决科学计算问题需经历几个过程：由实际问题建立数学模型，根据数学模型提出求解的数值计算方法，编出程序、上机求出结果。通过以上过程，可以看出，数值计算方法是计算机、数学和应用科学之间的桥梁，是程序设计和对数值结果进行分析的依据，是用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。目前，数值计算方法已经成为理工科院校（非数学专业）硕士学位研究生的学位课。在农业科学研究中，数值计算方法已经成为不可缺少的有力工具。学生通过本

2、课程的学习，能掌握科学计算中常用的算法，能独立地用学过的算法编程，测试。并能解决工作中遇到的实际问题。本教材同时也适当增加一些只供阅读，而不在课堂教授的内容，这样在规定的课时内可完成基本内容的讲授，又可以作为今后科研的参考书。各章节要点及授课时数本教材的特点：对现有的已知的数学模型建立起相应的一系列数值求解方法，力求设计计算量小、存储量少、精度高，特别是计算机所能接受且执行计算方法，兼顾分析方法的收敛性、稳定性及误差估计。在不失科学性的前提下，尽量做到深入浅出地介绍计算机上常用的数值方法，使学生能用数值计算方法对建立的数学模型实际求解。本教材既坚持介绍数

3、值计算方法基本原理，又兼顾应用学科的特点，这是现有教材所不具备的。使用范围：理工科非数学学科公共专业课教材。本教材主要介绍计算机上常用的各种数值计算方法以及相关的基本概念及理论。内容包括误差分析初步，方程求根，线性方程组的直接解法与迭代法，插值法，最小二乘曲线拟合，数值积分计算，常微分方程数值解法和偏微分方程数值解法。本课程中对主要基本算法的推导、构造原理、收敛性、误差估计进行了讨论。本教材的另一个特色是侧重于计算机应用，各章均有例题及数值算例，并指出应掌握的基本问题，对每一个算法都给出伪代码，以便于学生编制程序的需要，且有适当的书面练习及一些上机计算题

4、。本教材可作为理工科（非计算数学）各专业研究生及大学本科高年级的数值计算方法教材，也可供工程技术人员参考。作者从事硕士研究生学位课《数值计算方法》教学已经30余年，在多年的教学中发现给农业院校的学生寻找一本合适的教材很难。一方面，和其它理工科院校的学生相比，农业院校的学生数学基础课学得不够，因此需要浅显易懂的教材；另一方面，农业科学的发展，对数学和计算科学提出了很高的要求，因为农业科学的复杂性和不确定性，需要有尽可能多的内容和深度，这样互相矛盾的需求给讲课教师提出了很高的要求，教师要深入的理解数值计算的理念，要有深厚的计算数学理论知识和计算经验才能讲好这

5、门课。在学习了许多国内外教材的基础上，根据农业院校学生的特殊要求，作者于1984年编写了《数值计算方法》讲稿，每年都有小的改动，在1993年、1999年、2005年和2009年对讲稿进行了几次较大的修改，以适应科学发展需要和农大学生的基础。许多研究生通过学习，在毕业论文中引用了数值计算方法解决应用问题，提高了论文水平，也有许多在职教师和科研人员学习这门课程后，将数值方法引用到科研课题中，取得了较好的成果。目录第一章预篇1.1数值计算方法的研究对象和特点1.2误差分析1.3算法的概述第二章非线性方程求根2.1二分法2.2迭代法的一般原则2.3牛顿法(切线法

6、)2.4弦截法第三章解线性方程组的直接法3.1Gauss消去法3.2矩阵的三角分解及其在解方程组中的应用3.3解对称正定矩阵方程组的平方根解法3.4解三对角方程组的追赶法3.5向量和矩阵的范数3.6方程组的性态、条件数第四章解线性方程组的迭代法4.1Jacobi迭代法4.2Gauss-Seidel4.3SQR方法4.4迭代法的收敛性4.5共轭梯度法4.6最小二乘法第五章矩阵特征值问题的计算方法5.1矩阵特征值问题5.2乘幂法和反幂法5.3Household方法5.4QR方法第六章函数插值6.1Lagrange插值6.2Newton插值6.3等距节点的插值

7、6.4Hermite插值6.5分段低次多项式插值6.6三次样条插值第七章最佳平方逼近7.1正交多项式7.2切比雪夫多项式7.3曲线拟合的最小二乘法第八章数值积分8.1Newton-Cotes求积公式8.2Romberg求积公式8.3Gauss型求积公式第九章常微分方程数值解9.1Euler法和改进Euler法9.2Runge-Kutta法9.3线性多步法9.4解二阶常微分方程边值问题的差分法第十章偏微分方程数值解10.1椭圆型方程差分法10.2抛物型方程差分法10.3双曲型方程差分法10.4有限元方法初步第一章预篇数学是研究数与形的科学。其中研究怎样利用

8、手指、算盘、计算尺、计算器、计算机等工具，来求出数学问题数值解的学问，就是数值计