初中数学培优辅导资料(11—20讲)

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1、初中数学竞赛辅导资料（11）二元一次方程组解的讨论甲内容提要1．二元一次方程组的解的情况有以下三种：①当时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）②当时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）③当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：　　　（这个解可用加减消元法求得）　　2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）乙例题　例1.　选择一组a,c值使方程组①有无数多解，　②无解

2、，　③有唯一的解解：　①当　5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解解比例得a=10,　c=14。②当　5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。　解得a=10,　c≠14。③当　5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。例2.　a取什么值时，方程组的解是正数？解：把a作为已知数，解这个方程组得　　∵　∴解不等式组得　　解集是6答：当a的取值为6时，原方程组的解是正数。例3.　m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？解：把m作为已知数，解方程组得∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。∵y是整数，∴m－8取

3、2的约数±1，±2。　取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。解得　m=9，7，10，6。　经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？解：设桃，李，榄橄分别买x,　y,　z粒,依题意得由（1）得x=100－y－z(3)把（3）代入（2），整理得y=－200+3z－设(k为整数)　得z=7k,y=－200+20k,x=300－27k∵x,y,z都是正整数∴解得（k是整数）∴10＜k<,　　∵k是整数，　∴k=11即x=3（桃）,　

4、y=20（李）,　z=77（榄橄）　　(答略)丙练习111．不解方程组，判定下列方程组解的情况：①　　　②　　③2．a取什么值时方程组的解是正数？3．a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？4．要使方程组的解都是整数，k应取哪些整数值？5．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？初中数学竞赛辅导资料（12）用交集解题甲内容提要1．某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整

5、数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。2．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。3．几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集――正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组解的集合就是不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的

6、交集，x>3.如数轴所示：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0　　　　　　　2　　　　34．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。　有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）乙例题例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝　　除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，2

7、3，28，……｝　　除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30，……｝集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。例2.有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。解：　二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝；其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组故所求质数是：23，17；　43，37；　53，47；　73，67共四组。例3.数学兴趣小组中